Bac France 2024 : f(x) = (2x-1)eˣ, limites et variations

Exercice 1 — Étude d'une fonction exponentielle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2x-1)e^x$.

1. Calculer la limite de f en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, la dérivée de f, et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations de f.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$, que l'on déterminera.