Équation différentielle et modélisation — Croissance bactérienne

Exercice 5 — Équation différentielle et modélisation

Un laboratoire pharmaceutique à Casablanca étudie la croissance d'une culture bactérienne. On note $N(t)$ le nombre (en millions) de bactéries à l'instant $t$ (en heures), pour $t\in [0;+\infty [$.

Le biologiste modélise l'évolution par l'équation différentielle :

(E) : $N^{\prime }(t)=k\cdot N(t)$, où $k$ est une constante réelle positive.

On sait que $N(0)=2$ (millions de bactéries à l'instant initial) et $N(3)=16$.

1. Montrer que toute solution de (E) est de la forme $N(t)=A\cdot e^{kt}$, où $A$ est une constante réelle.
2. En utilisant les conditions initiales, déterminer $A$ et $k$. On exprimera $k$ à l'aide du logarithme népérien.
3. Déterminer le temps $t^{\ast }$ (en heures) au bout duquel la population atteint 100 millions de bactéries. On donnera une valeur exacte puis une approximation à $10^{-2}$ près (on utilisera $\ln (2)\approx 0,693$).
4. On suppose maintenant qu'un antibiotique est introduit à $t=0$, modifiant le modèle en : $M^{\prime }(t)=k\cdot M(t)-c$, avec $M(0)=2$, $k$ identique à la question 2, et $c=4\cdot k$. Déterminer $M(t)$, puis étudier le comportement de $M(t)$ quand $t\to +\infty$.