Exercice 6 — Inégalité fondamentale et conséquences L'objectif de cet exercice est de démontrer et d'exploiter l'inégalité e x ≥ 1 + x pour tout x ∈ R . Soit h ( x ) = e x − 1 − x . Calculer h ′ ( x ) , étudier les variations de h et en déduire que e x ≥ 1 + x pour tout x ∈ R , avec égalité si et seulement si x = 0 . En substituant x par − x dans l'inégalité précédente, montrer que : 1 − x ≤ e − x ≤ 1 + x 1 pour tout x ∈ ] − 1 ; + ∞ [ , x  = 0 . (On admettra la deuxième inégalité si nécessaire, mais on justifiera la première.) On considère la suite ( v n ) définie pour n ≥ 1 par v n = n ⋅ ( e 1/ n − 1 ) . En utilisant l'inégalité de la question 1 avec x = 1/ n , montrer que v n ≥ 1 pour tout n ≥ 1 . Montrer également que v n ≤ n ⋅ n + 1 e 1/ n × ... En utilisant la croissance comparée ou un encadrement adapté, montrer que n → + ∞ lim v n = 1 . On pose w n = ( 1 + n 1 ) n . En utilisant l'inégalité e x ≥ 1 + x avec x = 1/ n , montrer que w n ≤ e pour tout n ≥ 1 , puis que la suite ( w n ) est croissante.

Inégalité exponentielle et application — Comparaison asymptotique

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 6 — Inégalité fondamentale et conséquences

L'objectif de cet exercice est de démontrer et d'exploiter l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x \in R$ .

Soit $h (x) = e^{x} - 1 - x$ . Calculer $h^{'} (x)$ , étudier les variations de $h$ et en déduire que $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x \in R$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .
En substituant $x$ par $- x$ dans l'inégalité précédente, montrer que : $1 - x \leq e^{- x} \leq \frac{1}{1 + x}$ pour tout $x \in] - 1; + \infty [$ , $x \neq = 0$ . (On admettra la deuxième inégalité si nécessaire, mais on justifiera la première.)
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour $n \geq 1$ par $v_{n} = n \cdot (e^{1/ n} - 1)$ . En utilisant l'inégalité de la question 1 avec $x = 1/ n$ , montrer que $v_{n} \geq 1$ pour tout $n \geq 1$ .
Montrer également que $v_{n} \leq n \cdot \frac{e ^{1/ n}}{n + 1}$ $\times$ ... En utilisant la croissance comparée ou un encadrement adapté, montrer que $n \to + \infty lim v_{n} = 1$ .
On pose $w_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ . En utilisant l'inégalité $e^{x} \geq 1 + x$ avec $x = 1/ n$ , montrer que $w_{n} \leq e$ pour tout $n \geq 1$ , puis que la suite $(w_{n})$ est croissante.

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1 Indice 1

Pour l'inegalite, etudier $h(x)=e^x-1-x$ via le signe de $h'(x)$ pour trouver son minimum.

2 Indice 2

Pour l'encadrement, remplacer $x$ par $-x$ dans l'inegalite de base et etudier $\\varphi(x)=(1+x)e^{-x}$.

3 Indice 3

Pour les suites $v_n$ et $w_n$, appliquer l'inegalite avec $x=\\tfrac{1}{n}$ puis encadrer et utiliser le theoreme des gendarmes.

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