Étude d'une fonction et inégalité par dérivation

Exercice 6 — Inégalité et étude de fonction avancée

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=e^x-x-1$.

Partie A — Inégalité fondamentale

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$. Dresser le tableau de variations de f.
2. En déduire que pour tout réel x : $e^x\ge x+1$, avec égalité si et seulement si $x=0$. On dit que c'est l'inégalité de convexité de l'exponentielle.

Partie B — Application à une fonction

On considère la fonction g définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=e^x-e\cdot x$.

3. Étudier les variations de g et déterminer son minimum.
4. En utilisant le résultat de la Partie A, montrer que pour tout $x>0$ : $e^x\ge e\cdot x$, avec égalité si et seulement si $x=1$. (On pourra appliquer l'inégalité de la Partie A à une valeur bien choisie.)

Partie C — Généralisation

5. Soit a un réel strictement positif. En appliquant l'inégalité de la Partie A à $x-1$, montrer que pour tout $x>0$ : $e^x\ge e\cdot x$ (retrouver ce résultat par une autre méthode).
6. Plus généralement, montrer que pour tout réel a et tout réel x : $e^x\ge e^a(x-a+1)$. Interpréter géométriquement ce résultat.