Modélisation — Croissance d'une population à Casablanca

Exercice 4 — Situation-problème : modélisation d'une population

Un urbaniste de Casablanca modélise l'évolution du nombre d'habitants d'un nouveau quartier. Il suppose que, $t$ années après l'ouverture du quartier ($t\ge 0$), le nombre d'habitants (en milliers) est donné par :

$N(t)=A-(A-N_0)e^{-kt}$

où $A$, $N_0$ et $k$ sont des constantes strictement positives avec $N_0<A$.

1. Interpréter $N_0$ et calculer $\underset{t\to +\infty }{\lim }N(t)$. Interpréter ce résultat.
2. Montrer que $N$ est une fonction croissante sur $[0;+\infty [$. Est-ce cohérent avec le contexte ?
3. On suppose que $N_0=2$, $A=50$ et $k=0,1$. Calculer $N^{\prime }(t)$ et déterminer au bout de combien d'années (valeur entière) la population dépasse $30000$ habitants. On admettra que $\ln (24)\approx 3,18$.
4. On définit la fonction $h$ sur $]0;+\infty [$ par $h(t)=\frac{N(t)}{t}$. Un élu affirme que le taux moyen d'habitants par année tend vers $0$ quand $t\to +\infty$. Vérifier cette affirmation.