Énoncé Soit f la fonction définie par f ( x ) = x + ln ( ∣ e x − 1∣ ) . Déterminer D f , puis calculer f ( − ln 2 ) , x → + ∞ lim f ( x ) et x → − ∞ lim f ( x ) . Montrer que pour tout x ∈ D f : f ′ ( x ) = e x − 1 2 e x − 1 , puis dresser le tableau de variations de f . Montrer que la droite ( Δ ) : y = 2 x est asymptote oblique à ( C f ) au voisinage de + ∞ , et étudier la position relative de ( C f ) et ( Δ ) sur ] 0 ; + ∞ [ . Montrer que la droite ( Δ ′ ) : y = x est asymptote oblique à ( C f ) au voisinage de − ∞ . Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet une unique solution α ∈ ] 0 ; ln 2 [ .

Fonction x + ln|eˣ − 1| et asymptotes obliques

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = x + ln (∣ e^{x} - 1∣)$ .

Déterminer $D_{f}$ , puis calculer $f (- ln 2)$ , $x \to + \infty lim f (x)$ et $x \to - \infty lim f (x)$ .
Montrer que pour tout $x \in D_{f}$ : $f^{'} (x) = \frac{2 e ^{x} - 1}{e ^{x} - 1}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que la droite $(Δ) : y = 2 x$ est asymptote oblique à $(C_{f})$ au voisinage de $+ \infty$ , et étudier la position relative de $(C_{f})$ et $(Δ)$ sur $] 0; + \infty [$ .
Montrer que la droite $(Δ^{'}) : y = x$ est asymptote oblique à $(C_{f})$ au voisinage de $- \infty$ .
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in] 0; ln 2 [$ .

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1 Indice 1

Le domaine exige $|e^{x}-1|>0$ ; distingue les cas $x>0$ et $x<0$ pour enlever la valeur absolue.

2 Indice 2

Derive $\\ln|e^{x}-1|$ avec $\\dfrac{u'}{u}$ puis reduis au meme denominateur.

3 Indice 3

Pour les asymptotes, etudie $f(x)-2x$ en $+\\infty$ et $f(x)-x$ en $-\\infty$ en factorisant l'exponentielle.

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