A) Soit g définie sur R par g ( x ) = ( 1 − x ) e 2 − x + 1 . Montrer que g ( x ) ≥ 0 pour tout réel x . B) Soit f définie sur R par f ( x ) = x − 2 + x e 2 − x . Calculer x → − ∞ lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . Montrer que f ′ ( x ) = g ( x ) pour tout réel x et en déduire le sens de variation de f . Montrer que le point A ( 2 ; 2 ) est un point d'inflexion de la courbe et déterminer la tangente ( T ) en ce point.

Tangente, point d'inflexion et asymptote

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

A) Soit $g$ définie sur $R$ par $g (x) = (1 - x) e^{2 - x} + 1$ . Montrer que $g (x) \geq 0$ pour tout réel $x$ .

B) Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x - 2 + x e^{2 - x}$ .

Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
Montrer que $f^{'} (x) = g (x)$ pour tout réel $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ .
Montrer que le point $A (2; 2)$ est un point d'inflexion de la courbe et déterminer la tangente $(T)$ en ce point.

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1 Indice 1

Pour la partie A, derive $g$ et cherche son minimum : le signe de $g$ decoule de la valeur de ce minimum.

2 Indice 2

Pour $f'$, derive le produit $x\\,e^{2-x}$ en te rappelant que $(e^{2-x})'=-e^{2-x}$, puis compare avec $g(x)$.

3 Indice 3

Un point d'inflexion correspond a un changement de signe de $f''$ : etudie $f''=g'$ autour de $x=2$ et calcule la pente $f'(2)$.

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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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