Famille de fonctions x + e^(−nx) et minimum

Énoncé

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on considère la fonction $g_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g_n(x)=x+e^{-nx}$, de courbe $(C_n)$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }{g}_n(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{g}_n(x)$, puis étudier les branches infinies de $(C_n)$.

2. Étudier la position relative de $(C_2)$ par rapport à $(C_1)$.

3. Étudier le sens de variation de $g_n$ sur $\mathbb{R}$, en déduire que $g_n$ admet une valeur minimale $u_n$, puis calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.