Racine, convexité et inégalité par la tangente

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $$f(x)=\sqrt{x^2+3}.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $x\ge 0$.

2. Montrer que, pour tout $x\ge 0$, $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{3}{{\left(x^2+3\right)}^{\frac{3}{2}}}.$$ En déduire la convexité de $f$ sur $[0;+\infty [$. La courbe admet-elle un point d'inflexion sur $[0;+\infty [$ ?

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0=1$.

4. En utilisant la convexité de $f$, démontrer que pour tout $x\ge 0$ : $$\sqrt{x^2+3}\ge \frac{x}{2}+\frac{3}{2}.$$