Convexité, inégalité de convexité et position par rapport à une tangente

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(x-1)e^{-x}.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$. Préciser l'abscisse du point d'inflexion $I$ de la courbe.

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $0$.

4. En étudiant la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x)=f(x)-(x-1),$$ déterminer la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à la tangente $T$ sur l'intervalle où $f$ est convexe.