Point d'inflexion et position de la courbe par rapport à sa tangente

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=x^3-3x^2+2x+1.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$, en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$, puis préciser les coordonnées du point d'inflexion $I$ de la courbe.

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'inflexion $I$.

4. Étudier la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à la tangente $T$ sur $\mathbb{R}$.