Démonstration d'une inégalité par convexité de l'exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=e^{2x}.$$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$, puis justifier que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$.

3. En utilisant la convexité de $f$, démontrer que pour tout réel $x$, $$e^{2x}⩾2x+1.$$

4. En déduire que pour tout réel $t>0$, $$\ln t⩽\frac{t-1}{2}+\frac{1}{2}\ln t.$$ Préciser le cas d'égalité.