Étude de convexité d'une fonction avec logarithme et point d'inflexion

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\ln \left(x^2+2x+5\right).$$

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$.

3. Montrer que pour tout réel $x$, $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{-2x^2-4x+6}{{\left(x^2+2x+5\right)}^2}.$$

4. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$, en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$, puis préciser les abscisses des points d'inflexion de la courbe.