Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = ln ( x 2 + 1 ) . 1. Justifier que f est bien définie sur ] 0 ; + ∞ [ , puis calculer f ′ ( x ) . 2. Montrer que, pour tout x > 0 , f ′′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) 2 2 ( 1 − x 2 ) . 3. Étudier le signe de f ′′ ( x ) sur ] 0 ; + ∞ [ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de f . 4. La courbe de f admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, préciser ses coordonnées (valeur exacte).

Logarithme, point d'inflexion et concavité

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = ln (x^{2} + 1) .$

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $] 0; + \infty [$ , puis calculer $f^{'} (x)$ .

2. Montrer que, pour tout $x > 0$ , $f^{''} (x) = \frac{2 ( 1 - x ^{2} )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

3. Étudier le signe de $f^{''} (x)$ sur $] 0; + \infty [$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$ .

4. La courbe de $f$ admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, préciser ses coordonnées (valeur exacte).

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