Exercice 3 — Théorème des accroissements finis et inégalités On considère la fonction h définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : h ( x ) = ln ( 1 + x ) Montrer que h est continue sur [ 0 ; 1 ] et dérivable sur ] 0 ; 1 [ . Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à h sur [ 0 ; 1 ] : montrer qu'il existe c ∈ ] 0 ; 1 [ tel que h ( 1 ) − h ( 0 ) = h ′ ( c ) ⋅ ( 1 − 0 ) , puis en déduire que 2 1 < ln ( 2 ) < 1 . Plus généralement, en appliquant le TAF à h sur [ 0 ; x ] pour x > 0 , montrer que pour tout x > 0 : 1 + x x ≤ ln ( 1 + x ) ≤ x

Application du théorème des accroissements finis et inégalités — Bac Sénégal 2023

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 3 — Théorème des accroissements finis et inégalités

On considère la fonction h définie sur $[0; + \infty [$ par :

$h (x) = ln (1 + x)$

Montrer que h est continue sur $[0; 1]$ et dérivable sur $] 0; 1 [$ .
Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à h sur $[0; 1]$ : montrer qu'il existe $c \in] 0; 1 [$ tel que $h (1) - h (0) = h^{'} (c) \cdot (1 - 0)$ , puis en déduire que $\frac{1}{2} < ln (2) < 1$ .
Plus généralement, en appliquant le TAF à h sur $[0; x]$ pour $x > 0$ , montrer que pour tout $x > 0$ :
$\frac{x}{1 + x} \leq ln (1 + x) \leq x$

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