Soit la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ( x − 1 ) e x + 1 Calculer la limite de f en − ∞ et en + ∞ . (On rappelle que x → − ∞ lim x ⋅ e x = 0 .) Montrer que f ′ ( x ) = x ⋅ e x , puis dresser le tableau de variations complet de f . Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet exactement une solution α dans R , et vérifier que α ∈ ] − 1 ; 0 [ . Calculer f ′′ ( x ) . En déduire les intervalles de convexité et de concavité de C f , et déterminer le(s) point(s) d'inflexion. Écrire l'équation de la tangente à C f au point d'inflexion. Application : En utilisant le théorème des accroissements finis appliqué à f sur [ 0 ; 1 ] , montrer que : 2 e ≤ f ( 1 ) − f ( 0 ) ≤ e , puis vérifier cette inégalité numériquement.

Étude complète d'une fonction avec exponentielle et inégalité

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit la fonction f définie sur $R$ par :

$f (x) = (x - 1) e^{x} + 1$

Calculer la limite de f en $- \infty$ et en $+ \infty$ . (On rappelle que $x \to - \infty lim x \cdot e^{x} = 0$ .)
Montrer que $f^{'} (x) = x \cdot e^{x}$ , puis dresser le tableau de variations complet de f.
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet exactement une solution $α$ dans $R$ , et vérifier que $α \in] - 1; 0 [$ .
Calculer $f^{''} (x)$ . En déduire les intervalles de convexité et de concavité de $C_{f}$ , et déterminer le(s) point(s) d'inflexion.
Écrire l'équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'inflexion.
Application : En utilisant le théorème des accroissements finis appliqué à f sur $[0; 1]$ , montrer que : $\frac{e}{2} \leq f (1) - f (0) \leq e$ , puis vérifier cette inégalité numériquement.

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