Relation de Pascal et chemins sur une grille

Pour des entiers $n$ et $k$ tels que $0\le k\le n$, on note $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.

1. Démontrer la relation de Pascal : pour tous entiers $n\ge 1$ et $1\le k\le n$, $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}\right).$$ (On pourra fixer un élément particulier de l'ensemble et raisonner selon qu'une partie le contient ou non.)

2. On considère une grille rectangulaire. Un robot part du point $O$, situé au coin en bas à gauche, et doit atteindre le point $M$, situé $5$ pas vers la droite et $3$ pas vers le haut. À chaque étape, il se déplace soit d'un pas vers la droite (D), soit d'un pas vers le haut (H). Justifier qu'un chemin de $O$ à $M$ correspond à un mot de $8$ lettres formé de D et de H, puis montrer que le nombre de chemins de $O$ à $M$ vaut $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)$. Calculer ce nombre.

3. On note $C$ le point situé un pas à gauche et au niveau de $M$, et $B$ le point situé un pas en dessous de $M$. Tout chemin arrivant en $M$ provient soit de $C$ (dernier pas D), soit de $B$ (dernier pas H). En déduire une nouvelle justification de la relation de Pascal pour $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)$.