Combinatoire et dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

1. Vocabulaire : ensembles finis et cardinal

Un ensemble fini $E$ possède un nombre fini d'éléments, appelé cardinal de $E$ et noté $Card (E)$ ou $∣ E ∣$ . Dénombrer, c'est compter le nombre d'éléments d'un ensemble ou le nombre de configurations possibles. Si $A$ et $B$ sont deux ensembles finis disjoints, on a $Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B)$ . Dans le cas général, $Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B) - Card (A \cap B)$ .

2. Principe additif

Si une situation se décompose en plusieurs cas disjoints (qui n'ont aucune issue commune), le nombre total de possibilités est la somme des possibilités de chaque cas. Par exemple, choisir une carte rouge OU une figure noire : on additionne après avoir vérifié qu'il n'y a pas de double comptage.

Exemple : un menu propose 3 entrées végétariennes et 4 entrées non végétariennes. Comme ces choix s'excluent, il y a $3 + 4 = 7$ entrées possibles.

3. Principe multiplicatif

Lorsqu'un choix se fait en plusieurs étapes successives indépendantes, le nombre total de possibilités est le produit du nombre de possibilités à chaque étape. C'est le principe fondamental du dénombrement.

Exemple : un menu avec 3 entrées, 5 plats et 2 desserts offre $3 \times 5 \times 2 = 30$ repas différents. On parle aussi de cardinal d'un produit cartésien : $Card (A \times B) = Card (A) \times Card (B)$ .

4. k-uplets (listes avec répétition)

Un $k$ -uplet (ou $k$ -liste) d'un ensemble $E$ à $n$ éléments est une suite ordonnée de $k$ éléments de $E$ , les répétitions étant autorisées. Par le principe multiplicatif, chacune des $k$ positions peut être remplie de $n$ façons :

$n^{k}$

Exemple : un code de carte bancaire à 4 chiffres correspond à un $4$ -uplet de ${0, \dots, 9}$ : il y a $1 0^{4} = 10000$ codes possibles. L'ordre compte et un même chiffre peut se répéter.

5. k-uplets d'éléments distincts : les arrangements

Un arrangement de $k$ éléments parmi $n$ est un $k$ -uplet d'éléments deux à deux distincts : l'ordre compte, sans répétition. La première position offre $n$ choix, la deuxième $n - 1$ , etc., jusqu'à la $k$ -ième qui en offre $n - k + 1$ . On note ce nombre $A_{n}^{k}$ :

$A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!} (0 \leq k \leq n)$

Exemple : un podium (or, argent, bronze) parmi 8 athlètes : $A_{8}^{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ classements possibles.

6. Permutations et factorielle

Une permutation d'un ensemble à $n$ éléments est un arrangement de ses $n$ éléments : c'est un rangement ordonné de tous les éléments. Leur nombre est la factorielle de $n$ :

$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$

avec la convention $0! = 1$ . Une permutation est le cas particulier $A_{n}^{n} = n!$ .

Exemple : le nombre de façons de ranger 5 livres distincts sur une étagère est $5! = 120$ .

7. Combinaisons et coefficient binomial

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est un sous-ensemble (une partie) à $k$ éléments : l'ordre ne compte pas et il n'y a pas de répétition. Le nombre de combinaisons est le coefficient binomial $(k n)$ :

$(k n) = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

On divise les arrangements par $k!$ car chaque sous-ensemble est compté $k!$ fois (une fois par ordre de ses éléments).

Exemple : tirer 3 cartes d'un jeu de 32 (l'ordre est sans importance) : $(3 32) = \frac{32 \times 31 \times 30}{3 !} = 4960$ mains.

8. Propriétés du coefficient binomial

Cas particuliers : $(0 n) = (n n) = 1$ et $(1 n) = (n - 1 n) = n$ .

Symétrie : choisir les $k$ éléments d'une partie revient à choisir les $n - k$ éléments qu'on laisse de côté, d'où

$(k n) = (n - k n)$

Relation de Pascal : pour $1 \leq k \leq n - 1$ ,

$(k - 1 n - 1) + (k n - 1) = (k n)$

Elle s'interprète en fixant un élément : soit on le prend (il reste $(k - 1 n - 1)$ choix), soit on ne le prend pas ( $(k n - 1)$ choix).

9. Triangle de Pascal

La relation de Pascal permet de construire ligne par ligne le triangle de Pascal, où chaque coefficient est la somme des deux situés juste au-dessus de lui. La ligne $n$ donne tous les $(k n)$ pour $k$ allant de $0$ à $n$ . C'est un moyen rapide de calculer les petits coefficients sans factorielle.

10. Parties d'un ensemble

Le nombre total de parties (sous-ensembles) d'un ensemble à $n$ éléments est $2^{n}$ : pour chaque élément, on décide de le prendre ou non, soit $2$ choix indépendants. En classant les parties selon leur taille, on retrouve la formule du binôme évaluée en $1$ :

$k = 0 \sum n (k n) = 2^{n}$

Exemple : un ensemble de 4 objets possède $2^{4} = 16$ parties (en comptant l'ensemble vide et l'ensemble entier).

11. Lien avec la loi binomiale

Le coefficient binomial $(k n)$ compte le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi $n$ répétitions. C'est exactement ce qui apparaît dans la loi binomiale $B (n, p)$ : si $X$ suit cette loi, alors

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

Le facteur $(k n)$ dénombre les arrangements de succès et d'échecs, les puissances donnant la probabilité d'une issue particulière. La combinatoire fonde ainsi la modélisation probabiliste des épreuves répétées indépendantes.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Un dénombrement avec ordre (arrangement)

Énoncé. Une finale d'athlétisme oppose $8$ coureurs. On attribue les médailles d'or, d'argent et de bronze. De combien de podiums différents dispose-t-on, sachant qu'il n'y a pas d'ex æquo ?

Solution.

On choisit $3$ coureurs parmi $8$ et l'ordre compte (être premier n'est pas la même chose qu'être troisième) : c'est un arrangement de $3$ éléments parmi $8$ , noté $A_{8}^{3}$ .
On remplit les $3$ places successivement : $8$ choix pour la médaille d'or, puis $7$ pour l'argent (un coureur déjà placé), puis $6$ pour le bronze : $A_{8}^{3} = 8 \times 7 \times 6.$
On peut aussi écrire la formule générale $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$ : $A_{8}^{3} = \frac{8 !}{( 8 - 3 )!} = \frac{8 !}{5 !} = 8 \times 7 \times 6.$
Calcul : $8 \times 7 = 56$ , puis $56 \times 6 = 336$ .
Vérification numérique. $\frac{8 !}{5 !} = \frac{40320}{120} = 336$ . ✓ Il y a donc $336$ podiums possibles.

Exemple 2 — Un dénombrement sans ordre (combinaison)

Énoncé. Un club compte $12$ membres, dont $7$ filles et $5$ garçons. On forme un comité de $3$ personnes. (a) Combien de comités peut-on former ? (b) Combien comportent au moins une fille ?

Solution.

Un comité est un sous-ensemble de $3$ personnes : l'ordre ne compte pas. On dénombre donc des combinaisons, à l'aide du coefficient binomial $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .
(a) Nombre total de comités : $(3 12) = \frac{12 !}{3 ! 9 !} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220.$
(b) On passe par l'événement contraire « aucune fille », c'est-à-dire $3$ garçons choisis parmi les $5$ : $(3 5) = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = \frac{60}{6} = 10.$
Les comités comportant au moins une fille sont donc : $(3 12) - (3 5) = 220 - 10 = 210.$
Vérification numérique. On peut recompter $(3 12)$ par la formule de Pascal $(3 12) = (2 11) + (3 11) = 55 + 165 = 220$ . ✓ Et $220 - 10 = 210$ comités contiennent au moins une fille.

Exemple 3 — Application au coefficient binomial et à la loi binomiale

Énoncé. Un QCM comporte $10$ questions indépendantes ; à chacune, on répond au hasard avec une probabilité $0, 3$ de tomber juste. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses. (a) Justifier la loi de $X$ . (b) Calculer $P (X = 4)$ . (c) Donner l'espérance et la variance.

Solution.

(a) On répète $n = 10$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : « bonne réponse » (succès, de probabilité $p = 0, 3$ ) ou « mauvaise réponse » (échec, $1 - p = 0, 7$ ). La variable $X$ qui compte les succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0, 3$ , notée $X \sim B (10; 0, 3)$ .
La formule de la loi binomiale est $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .$ Le coefficient binomial $(k n)$ dénombre les façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves.
(b) Pour $k = 4$ , on calcule d'abord $(4 10) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210.$
D'où $P (X = 4) = (4 10) (0, 3)^{4} (0, 7)^{6} = 210 \times 0, 0081 \times 0, 117649.$
Calcul : $210 \times 0, 0081 = 1, 701$ , puis $1, 701 \times 0, 117649 \approx 0, 2001$ . Ainsi $P (X = 4) \approx 0, 200$ .
(c) Pour une loi binomiale, $E (X) = n p = 10 \times 0, 3 = 3$ et $V (X) = n p (1 - p) = 10 \times 0, 3 \times 0, 7 = 2, 1$ .
Vérification numérique. $(0, 3)^{4} = 0, 0081$ et $(0, 7)^{6} = 0, 117649$ ; le produit $210 \times 0, 0081 \times 0, 117649 = 0, 20012 \dots \approx 0, 2001$ . ✓ La valeur $4$ est proche de l'espérance $3$ , ce qui rend cette probabilité élevée par rapport aux autres : cohérent.

🔑 Formules clés à retenir

Cardinal d'une réunion : $Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B) - Card (A \cap B)$ .
Produit cartésien : $Card (A \times B) = Card (A) \times Card (B)$ .
$k$ -uplets (avec ordre et répétition) : $n^{k}$ .
Factorielle : $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$ , avec $0! = 1$ .
Arrangements (ordre, sans répétition) : $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ .
Permutations : $A_{n}^{n} = n!$ .
Combinaisons (sans ordre, sans répétition) : $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ .
Symétrie : $(k n) = (n - k n)$ .
Relation de Pascal : $(k - 1 n - 1) + (k n - 1) = (k n)$ .
Cas particuliers : $(0 n) = (n n) = 1$ et $(1 n) = n$ .
Nombre de parties : $k = 0 \sum n (k n) = 2^{n}$ .
Loi binomiale : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Le piège central : ordre ou pas ? Confondre arrangement et combinaison est l'erreur la plus fréquente. Demandez-vous toujours : « si j'échange deux éléments, est-ce une nouvelle situation ? » Si oui, c'est un arrangement.
Répétition ou non. « Tirage avec remise » ou « positions indépendantes » $\Rightarrow$ répétition autorisée ( $n^{k}$ ). « Tirage sans remise » ou « éléments distincts » $\Rightarrow$ pas de répétition ( $A_{n}^{k}$ ou $(k n)$ ).
Mots-clés trompeurs. « Comité », « équipe », « groupe », « main » $\to$ combinaison. « Code », « mot », « podium », « classement », « anagramme » $\to$ ordre $\to$ arrangement ou permutation.
Ne pas oublier $0! = 1$ ni $(0 n) = 1$ : l'ensemble vide est une partie valide, ce qui justifie le terme constant des sommes.
Additif vs multiplicatif. « ET » / étapes successives $\Rightarrow$ on multiplie. « OU » / cas exclusifs $\Rightarrow$ on additionne. Mélanger les deux fausse tout le calcul.
Symétrie utile. Pour calculer $(k n)$ quand $k$ est grand, utilisez $(k n) = (n - k n)$ : par exemple $(48 50) = (2 50) = 1225$ .
Double comptage. Quand des cas se chevauchent, n'oubliez pas de retrancher l'intersection (formule du crible) pour ne pas compter deux fois.
Anagrammes avec lettres répétées. Le nombre d'anagrammes d'un mot n'est pas $n!$ si des lettres se répètent : il faut diviser par les factorielles des effectifs de chaque lettre répétée.

Combinatoire et dénombrement — Fiche d'exercices

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50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

12 exercices

Relation de Pascal et triangle de Pascal

Facile

Énoncé

Vérifier la relation de Pascal : $C_{5}^{2} = C_{4}^{1} + C_{4}^{2}$ .
En utilisant la relation de Pascal, calculer $C_{6}^{3}$ à partir de $C_{5}^{2}$ et $C_{5}^{3}$ .
Écrire la ligne $n = 5$ du triangle de Pascal (les valeurs de $C_{5}^{0}, C_{5}^{1}, \dots, C_{5}^{5}$ ).
En déduire la somme $C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$ .

Ma réponse

Combinatoire et dénombrement

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1. Vocabulaire : ensembles finis et cardinal

2. Principe additif

3. Principe multiplicatif

4. k-uplets (listes avec répétition)

5. k-uplets d'éléments distincts : les arrangements

6. Permutations et factorielle

7. Combinaisons et coefficient binomial

8. Propriétés du coefficient binomial

9. Triangle de Pascal

10. Parties d'un ensemble

11. Lien avec la loi binomiale

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Un dénombrement avec ordre (arrangement)

Exemple 2 — Un dénombrement sans ordre (combinaison)

Exemple 3 — Application au coefficient binomial et à la loi binomiale

🔑 Formules clés à retenir

Concepts interactifs liés

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Combinatoire et dénombrement — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Relation de Pascal et triangle de Pascal

Permutations : rangement et mélange

Permutations

Dénombrement de fruits

Choix de plats

Dénombrer les chemins

Facteur d'une factorielle

Dénombrement des équipes

Anagrammes et arrangements de lettres

Mots de code et arrangements

Codes de cadenas, comités et menus

Codes, comités et menus : premiers dénombrements

Mots de passe, podiums et tirages de jetons

Exercices Intermédiaires

Binôme de Newton — terme général et coefficient

Poker : mains et nombre d'as

Jeu de 32 cartes

Équation avec coefficients binomiaux

Résoudre une équation

Choix d'élèves

Comité d'élèves

Panneaux de signalisation

Épreuves de mathématiques

Permutations de lettres

Arrangements de personnes

Choix de fruits

Dénombrement des arrangements

Combinaisons de livres

Élaboration d'une recette

Sélection d'élèves

Démonstration des arrangements

Démarche de choix

Combinaison de livres

Distribution de prix

Problème de répartition de livres

Développement du binôme et applications

Tirage de boules et calcul de probabilités

Mains d'un jeu de 32 cartes

Délégation mixte et conditions de composition

Exercices Difficiles

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Identité de combinaisons et somme associée

Combinaisons emboîtées

Démonstration du triangle de Pascal

Démonstration du principe multiplicatif

Combinations de choix de plats

Distribution de cadeaux

Problème de permutation de mots

Problème de loterie

Répartition des enfants

Dénombrement de Compositions et Arrangements

Problème de tirage

Tournoi, identité de Pascal et dénombrement avancé

Chemins sur une grille et formule de Pascal