A B C D est un parallélogramme. M , E et F sont des points du plan tels que : C M = 4 1 C A , C E = 3 1 C D , C F = 3 2 C D Montrer que B M = 4 1 C D − 4 3 C B et que B E = 3 1 C D − C B . En déduire que les points M , E et B sont alignés. Montrer que E est le milieu du segment [ C F ] .

Alignement et milieu dans un parallélogramme

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

$A B C D$ est un parallélogramme. $M$ , $E$ et $F$ sont des points du plan tels que :

$C M = \frac{1}{4} C A, C E = \frac{1}{3} C D, C F = \frac{2}{3} C D$

Montrer que $B M = \frac{1}{4} C D - \frac{3}{4} C B$ et que $B E = \frac{1}{3} C D - C B$ .
En déduire que les points $M$ , $E$ et $B$ sont alignés.
Montrer que $E$ est le milieu du segment $[C F]$ .

Indices

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1 Indice 1

Travaille avec les vecteurs $\\overrightarrow{CB}$ et $\\overrightarrow{CD}$ comme base, et utilise la relation du parallelogramme $\\overrightarrow{CA} = \\overrightarrow{CB} + \\overrightarrow{CD}$ pour exprimer $\\overrightarrow{CM}$.

2 Indice 2

Pour la question 1, utilise la relation de Chasles pour ecrire $\\overrightarrow{BM} = \\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{CM}$ et $\\overrightarrow{BE} = \\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{CE}$, puis remplace $\\overrightarrow{CM}$ et $\\overrightarrow{CE}$ par les expressions donnees dans l'enonce.

3 Indice 3

Pour la question 2, cherche a exprimer $\\overrightarrow{BE}$ comme un multiple de $\\overrightarrow{BM}$ : si tu trouves un nombre reel $k$ tel que $\\overrightarrow{BE} = k\\overrightarrow{BM}$, cela prouve l'alignement de $M$, $E$ et $B$.

4 Indice 4

Pour la question 3, compare directement les expressions vectorielles de $\\overrightarrow{CE}$ et $\\overrightarrow{CF}$ donnees dans l'enonce pour voir si l'une est la moitie de l'autre.

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