Vecteurs — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur $u$ est un objet mathématique caractérisé par trois données : une direction (celle de sa droite), un sens (l'orientation sur cette direction) et une norme (sa longueur, notée $∥ u ∥$ ). On le représente par une flèche. Le vecteur $A B$ va du point $A$ (origine) vers le point $B$ (extrémité).

Vecteur nul et norme

Le vecteur nul $0 = AA$ a une norme égale à $0$ ; il n'a ni direction ni sens définis. Pour deux points $A$ et $B$ , la norme $∥ A B ∥$ est égale à la distance $A B$ .

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Ainsi $A B = C D$ signifie que les flèches sont des copies l'une de l'autre, même si $A \neq = C$ . Exemple : dans un parallélogramme $A B C D$ , on a $A B = D C$ .

Translation

La translation de vecteur $u$ associe à tout point $M$ le point $M^{'}$ tel que $M M^{'} = u$ . Dire que $A B = C D$ revient à dire que $D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $A B$ . La translation conserve les longueurs, les angles et le parallélisme.

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, un vecteur $u$ a des coordonnées $(x y)$ . Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors $A B$ a pour coordonnées $(x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$ . Exemple : pour $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ , $A B (34)$ .

Égalité par les coordonnées

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées : $u (x y) = v (x^{'} y^{'})$ équivaut à $x = x^{'}$ et $y = y^{'}$ .

Somme de vecteurs et relation de Chasles

La relation de Chasles permet d'enchaîner les déplacements : $A B + B C = A C$ . L'extrémité du premier vecteur sert d'origine au second. En coordonnées, on additionne membre à membre : $u + v (x + x^{'} y + y^{'})$ .

Règle du parallélogramme

Pour additionner deux vecteurs de même origine, on utilise la règle du parallélogramme : si $A B$ et $A D$ partent de $A$ , alors $A B + A D = A C$ où $A B C D$ est un parallélogramme.

Produit d'un vecteur par un réel

Pour un réel $k$ , le vecteur $k u$ a la même direction que $u$ . Si $k > 0$ , même sens ; si $k < 0$ , sens opposé ; sa norme est $∥ k u ∥ = ∣ k ∣ \times ∥ u ∥$ . En coordonnées : $k u (k x k y)$ . Exemple : $2 u$ est deux fois plus long que $u$ et de même sens.

Colinéarité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ (avec $u \neq = 0$ ). Géométriquement, ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Critère de colinéarité

Avec $u (x y)$ et $v (x^{'} y^{'})$ , les vecteurs sont colinéaires si et seulement si $x y^{'} - x^{'} y = 0$ . Ce nombre $x y^{'} - x^{'} y$ est appelé déterminant des deux vecteurs.

Applications : parallélisme, alignement, parallélogramme

La colinéarité est l'outil clé : les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si $A B$ et $C D$ sont colinéaires ; les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si $A B$ et $A C$ sont colinéaires ; et $A B C D$ est un parallélogramme si $A B = D C$ .

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Coordonnées d'un vecteur et égalité de vecteurs (parallélogramme)

Énoncé. Dans un repère, on donne les points $A (1; 2)$ , $B (4; 3)$ et $C (6; 7)$ . Déterminer les coordonnées du vecteur $A B$ , puis celles du point $D$ tel que $A B C D$ soit un parallélogramme.

Solution.

Les coordonnées d'un vecteur $A B$ s'obtiennent en soustrayant celles de $A$ à celles de $B$ : $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ . On calcule $A B (4 - 1; 3 - 2) = (3; 1) .$
Le quadrilatère $A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si $A B = D C$ (côtés opposés $[A B]$ et $[D C]$ parallèles et de même longueur). On note $D (x; y)$ .
On exprime $D C (6 - x; 7 - y)$ . L'égalité $A B = D C$ donne le système $6 - x = 3 et 7 - y = 1.$
On résout : $x = 6 - 3 = 3$ et $y = 7 - 1 = 6$ . Donc $D (3; 6)$ .
Vérification. On calcule $D C (6 - 3; 7 - 6) = (3; 1) = A B$ : l'égalité est bien vérifiée, $A B C D$ est un parallélogramme.

Exemple 2 — Démontrer un parallélogramme avec la relation de Chasles

Énoncé. $E$ , $F$ , $G$ et $H$ sont quatre points du plan. On sait que $E F = H G$ . Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que les milieux des diagonales $[E G]$ et $[F H]$ sont confondus, ce qui caractérise le parallélogramme $E F G H$ .

Solution.

On rappelle la relation de Chasles : pour trois points $M$ , $N$ , $P$ , on a $M N + N P = M P$ .
Soit $I$ le milieu de $[E G]$ et $J$ le milieu de $[F H]$ . On veut montrer que $I J = 0$ , c'est-à-dire $I = J$ .
On décompose $I J$ par Chasles en passant par $E$ et $F$ : $I J = I E + E F + F J .$
Comme $I$ est le milieu de $[E G]$ , on a $I E = \frac{1}{2} GE$ ; comme $J$ est le milieu de $[F H]$ , on a $F J = \frac{1}{2} F H$ . D'où $I J = \frac{1}{2} GE + E F + \frac{1}{2} F H .$
On utilise l'hypothèse $E F = H G$ , donc $E F = \frac{1}{2} H G + \frac{1}{2} H G$ . En regroupant et avec Chasles $GE + E F + F H = G H$ , on obtient $I J = \frac{1}{2} (GE + E F + F H) + \frac{1}{2} E F - \frac{1}{2} E F = \frac{1}{2} G H + \frac{1}{2} E F .$
Or $E F = H G = - G H$ , donc $I J = \frac{1}{2} G H - \frac{1}{2} G H = 0$ .
Ainsi $I = J$ : les diagonales $[E G]$ et $[F H]$ ont le même milieu, donc $E F G H$ est un parallélogramme.

Exemple 3 — Colinéarité et alignement de trois points

Énoncé. Dans un repère, on donne $A (- 1; 2)$ , $B (3; 4)$ et $C (9; 7)$ . Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

Solution.

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $A B$ et $A C$ sont colinéaires.
On calcule les coordonnées des deux vecteurs : $A B (3 - (- 1); 4 - 2) = (4; 2)$ et $A C (9 - (- 1); 7 - 2) = (10; 5)$ .
Deux vecteurs $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $x y^{'} - x^{'} y = 0$ .
On calcule le déterminant de $A B$ et $A C$ : $x y^{'} - x^{'} y = 4 \times 5 - 10 \times 2 = 20 - 20 = 0.$
Le déterminant est nul, donc $A B$ et $A C$ sont colinéaires : les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.
Vérification. On a $A C = \frac{5}{2} A B$ car $10 = \frac{5}{2} \times 4$ et $5 = \frac{5}{2} \times 2$ : il existe bien un réel $k$ tel que $A C = k A B$ , ce qui confirme l'alignement.

🔑 Formules clés à retenir

Coordonnées d'un vecteur : si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors $A B (x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})$ .
Norme : $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Somme (coordonnées) : $u + v (x + x^{'} y + y^{'})$ .
Produit par un réel : $k u (k x k y)$ .
Relation de Chasles : $A B + B C = A C$ .
Règle du parallélogramme : $A B + A D = A C$ avec $A B C D$ parallélogramme.
Critère de colinéarité : $u$ et $v$ colinéaires $⟺ x y^{'} - x^{'} y = 0$ .
Milieu : $I$ est le milieu de $[A B]$ $⟺ A I = I B ⟺ A I = \frac{1}{2} A B$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Origine et extrémité : dans $A B$ , l'ordre compte ! $A B = - B A$ , ce sont des vecteurs opposés, jamais égaux (sauf vecteur nul).
Coordonnées : ne pas inverser ! C'est extrémité moins origine : $x_{B} - x_{A}$ et non $x_{A} - x_{B}$ .
Parallélogramme : piège classique sur l'ordre. Pour $A B C D$ , l'égalité correcte est $A B = D C$ (et non $A B = C D$ , qui donnerait un parallélogramme croisé).
Chasles : l'enchaînement ne fonctionne que si le point d'arrivée du premier vecteur est le point de départ du second : $A B + B C$ et non $A B + C B$ .
Déterminant nul : $x y^{'} - x^{'} y = 0$ signifie colinéaire (droites parallèles ou points alignés), pas perpendiculaire. La perpendicularité n'est pas au programme de Seconde.
Colinéaire ≠ égaux : deux vecteurs colinéaires ont la même direction mais pas forcément la même norme ni le même sens.
Vecteur nul : $0$ est colinéaire à tous les vecteurs ; ne jamais diviser par un vecteur, cela n'a aucun sens.

Vecteurs — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

18 exercices

Coordonnées de vecteurs

Facile

Énoncé

On donne A(1,3), B(4,7), C(−1,2), D(2,6). Calculer les coordonnées de $A B$ , $C D$ et $∥ A B ∥$ .

Ma réponse

Vecteurs

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Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Vecteur nul et norme

Égalité de deux vecteurs

Translation

Coordonnées d'un vecteur

Égalité par les coordonnées

Somme de vecteurs et relation de Chasles

Règle du parallélogramme

Produit d'un vecteur par un réel

Colinéarité

Critère de colinéarité

Applications : parallélisme, alignement, parallélogramme

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Coordonnées d'un vecteur et égalité de vecteurs (parallélogramme)

Exemple 2 — Démontrer un parallélogramme avec la relation de Chasles

Exemple 3 — Colinéarité et alignement de trois points

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Vecteurs — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Coordonnées de vecteurs

Milieu du segment [AB] avec A(-2,5) et B(6,1)

Vérifier la relation de Chasles avec O, A, B, C

Reconnaître deux vecteurs colinéaires

Somme des vecteurs u(3, 2) et v(-1, 5)

Milieu du segment [AB] avec A(2,3) et B(6,7)

Calcul de vecteurs

Milieu d'un segment aux extrémités A(1,2) et B(3,6)

Colinéarité de vecteurs

Norme d'un vecteur

Vecteur nul

Coordonnées du milieu de [AB] avec A(4,6) et B(10,14)

Calcul de la norme d'un vecteur

Coordonnées, somme de vecteurs et construction d'un point

Coordonnées et somme de vecteurs

Coordonnées d'un vecteur, somme et point image

Coordonnées d'un vecteur

Addition et multiplication de vecteurs

Exercices Intermédiaires

Combinaison linéaire de vecteurs

Équation paramétrique d'une droite

Médiane d'un triangle par vecteurs

Théorème de la droite des milieux par les vecteurs

Distance Marrakech-Agadir avec les vecteurs

Combinaison de vecteurs

Applications de vecteurs

Relation de Chasles avec A(2,1), B(4,5), C(7,9)

Multiplication par un scalaire

Colinéarité dans un contexte pratique

Problème de mouvement

Critère de colinéarité, alignement et recherche d'un paramètre

Colinéarité et alignement de points

Critère de colinéarité, alignement de points et paramètre

Vecteurs colinéaires

Vecteurs et parallélisme

Exercices Difficiles

Projection orthogonale et vecteurs

Vecteurs et droites parallèles

Alignement de points dans un parallélogramme

Droites parallèles dans un triangle

Alignement et milieu dans un parallélogramme

Déplacement d'un bateau

Propriétés de colinéarité

Propriétés de la colinéarité

Déplacement entre deux villes

Équilibre des forces

Distance entre deux villes dans un repère

Parallélogramme, parallélisme et alignement par les diagonales

Parallélogramme, parallélisme de droites et diagonales

Relation de Chasles avec quatre points A, B, C, D

Milieu et barycentre — vecteurs

Parallélisme, parallélogramme et point d'intersection

Exercices supplémentaires

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