1. Montrer que pour x > 1 : x 2 > x > x > 1 > x 1 . 2. Pour 0 < x < 1 , établir l'ordre inverse des mêmes expressions.

Comparaison et inégalités entre fonctions de référence

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

1. Montrer que pour $x > 1$ : $x^{2} > x > x > 1 > \frac{1}{x}$ .

2. Pour $0 < x < 1$ , établir l'ordre inverse des mêmes expressions.

Indices

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1 Indice 1

Compare les expressions deux a deux en partant de l'hypothese $x>1$, en multipliant ou en utilisant une propriete des fonctions croissantes a chaque etape.

2 Indice 2

Pour comparer $x$ et $\\sqrt{x}$, essaie de poser $t=\\sqrt{x}$ et d'etudier le signe de $t^2-t$ en factorisant.

3 Indice 3

Pour la deuxieme partie avec $0

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