Fonctions de référence — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Les fonctions de référence

Au programme de Seconde, on étudie quatre fonctions de référence : la fonction affine, la fonction carré, la fonction inverse et la fonction racine carrée. Pour chacune, il faut connaître son ensemble de définition, son sens de variation, son signe et l'allure de sa courbe représentative.

La fonction affine

Une fonction affine est définie sur $R$ par $f (x) = a x + b$ , où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine. Sa courbe est une droite. Lorsque $a = 0$ , la fonction est constante. Lorsque $b = 0$ , la fonction $f (x) = a x$ est dite linéaire et sa droite passe par l'origine.

Sens de variation d'une fonction affine

Le sens de variation dépend uniquement du signe de $a$ :

si $a > 0$ , $f$ est croissante sur $R$ ;
si $a < 0$ , $f$ est décroissante sur $R$ ;
si $a = 0$ , $f$ est constante.

Exemple : $f (x) = 3 x - 1$ a pour coefficient directeur $a = 3 > 0$ , donc $f$ est croissante.

Signe d'une fonction affine

Pour $a \neq = 0$ , $f (x) = a x + b$ s'annule en $x = - \frac{b}{a}$ . Le signe de $f (x)$ change autour de cette valeur : $f (x)$ a le signe de $a$ après la racine, et le signe contraire avant. On résume cela dans un tableau de signes.

La fonction carré

La fonction carré est définie sur $R$ par $f (x) = x^{2}$ . Sa courbe est une parabole de sommet l'origine $O (0; 0)$ , tournée vers le haut. C'est une fonction paire : $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ , donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Variations de la fonction carré

La fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ puis croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle admet un minimum égal à $0$ , atteint en $x = 0$ . De plus, $x^{2} \geq 0$ pour tout réel $x$ : la fonction carré est toujours positive.

La fonction inverse

La fonction inverse est définie sur $R^{*} =] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ . Elle n'est pas définie en $0$ . Sa courbe est une hyperbole. C'est une fonction impaire : $f (- x) = - f (x)$ , sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Variations et signe de la fonction inverse

La fonction inverse est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et décroissante sur $] 0; + \infty [$ (attention : elle décroît sur chacun des deux intervalles, mais pas sur $R^{*}$ tout entier). Son signe suit celui de $x$ : $\frac{1}{x} > 0$ si $x > 0$ , et $\frac{1}{x} < 0$ si $x < 0$ .

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = x$ , car on ne peut prendre la racine carrée que d'un nombre positif ou nul. Elle est croissante sur $[0; + \infty [$ et toujours positive. On a toujours $x \geq 0$ et $(x)^{2} = x$ .

Comparaison des fonctions de référence

Sur $[0; 1]$ on a $x^{2} \leq x \leq x$ , tandis que sur $[1; + \infty [$ on a $x \leq x \leq x^{2}$ . À la valeur $x = 1$ , les trois fonctions coïncident : $1^{2} = 1 = 1$ . Comparer $x$ , $x^{2}$ et $x$ revient donc à se placer par rapport à $1$ .

Résolution d'inéquations du type $x^{2} < k$

Pour résoudre $x^{2} < k$ avec $k > 0$ : on utilise $x^{2} < k \Leftrightarrow - k < x < k$ , soit $x \in] - k; k [$ . De même, $x^{2} > k \Leftrightarrow x < - k$ ou $x > k$ . Exemple : $x^{2} < 9 \Leftrightarrow - 3 < x < 3$ . Si $k < 0$ , l'inéquation $x^{2} < k$ n'a aucune solution car $x^{2} \geq 0$ .

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Comparer $x$ , $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$

Énoncé. Soit $x$ un réel tel que $0 < x < 1$ . Comparer les nombres $x$ , $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ , puis ranger ces trois quantités dans l'ordre croissant. On illustrera avec $x = \frac{1}{2}$ .

Solution.

Comparer $x^{2}$ et $x$ . Comme $0 < x < 1$ , en multipliant l'inégalité $x < 1$ par $x$ (qui est strictement positif, donc le sens est conservé), on obtient $x \times x < 1 \times x$ , c'est-à-dire $x^{2} < x$ . Sur $] 0; 1 [$ , le carré est donc plus petit que le nombre lui-même.
Comparer $x$ et $\frac{1}{x}$ . De $x < 1$ avec $x > 0$ , on divise par $x$ : $\frac{x}{x} < \frac{1}{x}$ , donc $1 < \frac{1}{x}$ . Or $x < 1$ , donc en regroupant : $x < 1 < \frac{1}{x}$ , ce qui donne $x < \frac{1}{x}$ .
Ordre croissant. En rassemblant les deux résultats $x^{2} < x$ et $x < \frac{1}{x}$ , on obtient l'encadrement $x^{2} < x < \frac{1}{x}$ .
Vérification avec $x = \frac{1}{2}$ . On a $x^{2} = \frac{1}{4} = 0, 25$ , $x = \frac{1}{2} = 0, 5$ et $\frac{1}{x} = 2$ . On retrouve bien $0, 25 < 0, 5 < 2$ , soit $x^{2} < x < \frac{1}{x}$ .

Exemple 2 — Résoudre une inéquation $x^{2} < k$ à l'aide de la courbe

Énoncé. À l'aide de la courbe de la fonction carré $f$ définie par $f (x) = x^{2}$ , résoudre dans $R$ l'inéquation $x^{2} < 9$ .

Solution.

Interprétation graphique. Résoudre $x^{2} < 9$ revient à chercher les abscisses $x$ pour lesquelles la parabole d'équation $y = x^{2}$ est strictement en dessous de la droite horizontale d'équation $y = 9$ .
Points d'intersection. La courbe et la droite se coupent lorsque $x^{2} = 9$ . Cette égalité a pour solutions $x = 3$ et $x = - 3$ , car $3^{2} = 9$ et $(- 3)^{2} = 9$ . Ce sont les bornes à repérer sur l'axe des abscisses.
Lecture du tableau de signes graphique. La fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ . La parabole passe sous la droite $y = 9$ uniquement entre les deux points d'intersection, donc pour les $x$ situés entre $- 3$ et $3$ .
Conclusion. L'ensemble des solutions est l'intervalle ouvert $S =] - 3; 3 [$ . (Vérification : pour $x = 0$ , $0^{2} = 0 < 9$ , $0$ est bien solution ; pour $x = 4$ , $4^{2} = 16 > 9$ , $4$ n'est pas solution.)

Exemple 3 — Variations de la fonction inverse et de la fonction racine carrée

Énoncé. En utilisant les variations des fonctions de référence, comparer sans calculatrice : (a) $\frac{1}{5}$ et $\frac{1}{8}$ avec la fonction inverse ; (b) $7$ et $10$ avec la fonction racine carrée.

Solution.

Variations de la fonction inverse. La fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ . Comparer des images revient donc à inverser l'ordre des antécédents positifs.
Application à (a). On a $5 < 8$ et ces deux nombres sont positifs. La fonction inverse étant décroissante sur $] 0; + \infty [$ , elle inverse l'ordre : $\frac{1}{5} > \frac{1}{8}$ .
Variations de la fonction racine carrée. La fonction racine carrée $x \mapsto x$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle conserve donc l'ordre des nombres positifs.
Application à (b). On a $7 < 10$ avec $7$ et $10$ positifs. La fonction racine carrée étant croissante, elle conserve l'ordre : $7 < 10$ .
Conclusion. Sans calcul, $\frac{1}{5} > \frac{1}{8}$ (inverse : ordre inversé) et $7 < 10$ (racine : ordre conservé). (Vérification approchée : $\frac{1}{5} = 0, 2 > \frac{1}{8} = 0, 125$ et $7 \approx 2, 65 < 10 \approx 3, 16$ .)

🔑 Formules clés à retenir

Fonction affine : $f (x) = a x + b$ définie sur $R$ , courbe = droite
Racine d'une affine : $a x + b = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a}$ (avec $a \neq = 0$ )
Fonction carré : $f (x) = x^{2}$ définie sur $R$ , courbe = parabole, paire
Pour tout réel $x$ : $x^{2} \geq 0$
Fonction inverse : $f (x) = \frac{1}{x}$ définie sur $R^{*}$ , courbe = hyperbole, impaire
Fonction racine carrée : $f (x) = x$ définie sur $[0; + \infty [$
Propriétés : $(x)^{2} = x$ et $x \geq 0$ pour $x \geq 0$
Sur $[0; 1]$ : $x^{2} \leq x \leq x$ ; sur $[1; + \infty [$ : $x \leq x \leq x^{2}$
$x^{2} < k \Leftrightarrow - k < x < k$ (pour $k > 0$ )
$x^{2} > k \Leftrightarrow x < - k$ ou $x > k$ (pour $k > 0$ )

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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Inverse non définie en $0$ . On ne divise jamais par $0$ : l'ensemble de définition de $x \mapsto \frac{1}{x}$ est $R^{*}$ , jamais $R$ .
La fonction inverse n'est pas décroissante sur $R^{*}$ . Elle décroît sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ séparément. Par exemple $- 1 < 2$ mais $\frac{1}{- 1} = - 1 < \frac{1}{2}$ : on ne peut pas comparer à travers $0$ .
Le carré est toujours positif. $x^{2} \geq 0$ pour tout $x$ . Donc $x^{2} = - 4$ n'a pas de solution, et $x^{2} < k$ avec $k < 0$ n'a aucune solution.
Racine carrée d'un négatif impossible. $x$ n'existe que pour $x \geq 0$ . Penser à la condition d'existence avant tout calcul.
Ne pas confondre $x^{2}$ et $x$ . En réalité $x^{2} = ∣ x ∣$ : par exemple $(- 3)^{2} = 9 = 3$ , et non $- 3$ .
Attention au sens de variation du carré. La fonction carré n'est pas croissante partout : elle décroît sur $] - \infty; 0]$ . Donc $- 5 < - 2$ donne $25 > 4$ .

Fonctions de référence — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

Fonction affine : images, sens de variation et signe

Facile

Énoncé

On considère la fonction affine $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 2 x - 6$ .

1. Calculer $f (0)$ , $f (3)$ et $f (- 2)$ .

2. Préciser le coefficient directeur de $f$ et en déduire son sens de variation sur $R$ .

3. Résoudre l'équation $f (x) = 0$ .

4. En déduire le signe de $f (x)$ selon les valeurs de $x$ .

Ma réponse

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$f (x)$

Fonctions de référence

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Cours complet

Contenu du cours

Les fonctions de référence

La fonction affine

Sens de variation d'une fonction affine

Signe d'une fonction affine

La fonction carré

Variations de la fonction carré

La fonction inverse

Variations et signe de la fonction inverse

La fonction racine carrée

Comparaison des fonctions de référence

Résolution d'inéquations du type x2<k

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Comparer x, x2 et x1​

Exemple 2 — Résoudre une inéquation x2<k à l'aide de la courbe

Exemple 3 — Variations de la fonction inverse et de la fonction racine carrée

🔑 Formules clés à retenir

Concepts interactifs liés

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Fonctions de référence — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Fonction affine : images, sens de variation et signe

Fonction affine : variations, signe et représentation

Domaine de définition des fonctions de référence

Variations des fonctions de référence

Parité des fonctions de référence

Calcul d'images avec les fonctions de référence

Fonction affine et fonction carré : images, variations et courbes

Calculs avec la fonction carré

Images par la fonction inverse

Domaine de définition de la fonction racine carrée

Variations de la fonction carré

Fonction affine et ordonnée à l'origine

Étude de la fonction carré dilatée

Fonction paire ou impaire

Domaine de définition d'une fonction

Domaine de définition d'une fraction

Taux de variation et sens de variation

Domaine de définition — radical et fraction

Parité et imparité

Exercices Intermédiaires

Fonction carré : encadrement d'images et résolution d'équation

Fonction carré : variations, parité et comparaison d'images

Tableau de signes et fonction carré

Application : Aire d'un carré variable

Résolution graphique d'une équation avec $x^2$

Inéquation avec la fonction inverse

Intersection de courbes

Comparaison avec la fonction racine carrée

Résolution d'équations avec les fonctions de référence

Inéquations avec les fonctions de référence

Tableau de valeurs et représentation graphique

Fonction inverse : variations, comparaisons et inéquation

Ensemble de définition et parité

Étude complète d'un trinôme et de sa courbe

Étude de la fonction inverse 2/x

Monotonie d'une fonction rationnelle

Calcul d'un extremum local

Monotonie par définition

Monotonie et extremums par comparaison

Exercices Difficiles

Fonction inverse et droite : intersections et positions relatives

Fonction inverse : variations et comparaisons délicates

Transformations de la courbe de $x^2$

Comparaison et inégalités entre fonctions de référence

Valeur absolue et distance sur la droite réelle

Positions relatives d'une parabole et d'une droite

Maximum d'une fonction rationnelle

Problème concret sur la croissance

Fonction composée et limites

Démonstration de la parité

Bijection et fonction réciproque

Taux de variation et interprétation géométrique

Exercices supplémentaires

—

Résolution d'inéquations du type $x^{2} < k$

Exemple 1 — Comparer $x$ , $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$

Exemple 2 — Résoudre une inéquation $x^{2} < k$ à l'aide de la courbe