Soit f ( x ) = x 2 + 1 x 2 − 1 . Déterminer D f . Étudier la parité de f . Montrer que f est croissante sur [ 0 , + ∞ [ . En déduire les variations de f sur R . Déterminer les extremums de f .

Étude complète d'une fonction

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1}$ .

Déterminer $D_{f}$ .
Étudier la parité de $f$ .
Montrer que $f$ est croissante sur $[0, + \infty [$ .
En déduire les variations de $f$ sur $R$ .
Déterminer les extremums de $f$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour le domaine, vérifie si le dénominateur $x^2+1$ peut s'annuler. Pour la parité, calcule $f(-x)$ et compare à $f(x)$.

2 Indice 2

Pour la monotonie sur $[0,+\infty[$, calcule $f(x_2)-f(x_1)$ pour $0\le x_1

3 Indice 3

Utilise la parité pour déduire les variations sur $]-\infty,0]$ à partir de celles sur $[0,+\infty[$, puis identifie l'extremum en $x=0$ en calculant $f(0)$.

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