Soit f : [ 1 ; + ∞ [ → [ 0 ; + ∞ [ définie par f ( x ) = x 2 − 2 x . Montrer que f est strictement croissante sur [ 1 ; + ∞ [ . En déduire que f est une bijection de [ 1 ; + ∞ [ vers son image. Préciser cette image. Déterminer la fonction réciproque f − 1 .

Bijection et fonction réciproque

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $f : [1; + \infty [\to [0; + \infty [$ définie par $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[1; + \infty [$ .
En déduire que $f$ est une bijection de $[1; + \infty [$ vers son image. Préciser cette image.
Déterminer la fonction réciproque $f^{- 1}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule la difference $f(x_2) - f(x_1)$ pour $x_1 < x_2$ dans l'intervalle donne, factorise l'expression obtenue, puis etudie le signe de chaque facteur en te servant des bornes de l'intervalle.

2 Indice 2

Pour la question 2, mets $f(x)$ sous forme canonique afin de determiner facilement l'image de la borne $x=1$ et le comportement de $f$ quand $x$ tend vers $+\\infty$.

3 Indice 3

Pour la question 3, pose $y = f(x)$ sous forme canonique et isole $x$ en n'oubliant pas de choisir le signe de la racine carree coherent avec l'intervalle de depart $[1;+\\infty[$.

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