Loi normale — Poids de colis dans un entrepôt logistique

Un entrepôt logistique à Casablanca traite des colis dont le poids (en kg) suit une loi normale de moyenne $\mu$ = 12 kg et d'écart-type $\sigma$ = 2,5 kg. On note X la variable aléatoire représentant le poids d'un colis choisi au hasard.

1. Calculer P(X > 15) et P(9 $\le$ X $\le$ 16). On utilisera la table de la loi normale centrée réduite.
2. Un colis est dit « hors gabarit » si son poids est supérieur à 18 kg. Calculer la probabilité qu'un colis soit hors gabarit. En déduire, pour un lot de 200 colis, le nombre moyen de colis hors gabarit ainsi que l'écart-type correspondant.
3. On prélève un échantillon de n = 100 colis. On note f la fréquence empirique des colis hors gabarit dans cet échantillon. La proportion théorique est p = P(X > 18). Construire un intervalle de confiance au niveau 95 % pour p. Conclure si f = 0,008.
4. Le gérant souhaite que 90 % des colis pèsent entre a et b kg, avec a = $\mu$ - c et b = $\mu$ + c (intervalle symétrique autour de la moyenne). Déterminer la valeur de c. On rappelle que Φ(1,645) ≈ 0,95.