Problème BAC complet — loi binomiale, approximation normale, décision

Une chaîne de production fabrique des ampoules. On sait que $8\%$ des ampoules sont défectueuses. Un lot de $n=200$ ampoules est contrôlé. Soit $X$ le nombre d'ampoules défectueuses.

1. Quelle est la loi de $X$ ? Calculer $E(X)$ et $\sigma (X)$.
2. Justifier qu'on peut approcher $X$ par une loi normale et préciser ses paramètres.
3. Calculer $P(X\le 20)$ à l'aide de l'approximation normale. ($\Phi (1.52)\approx 0.936$)
4. Calculer $P(12\le X\le 24)$. ($\Phi (0.76)\approx 0.776$, $\Phi (2.27)\approx 0.988$)
5. On décide que le lot est "hors norme" si $X\ge 25$. Calculer cette probabilité et prendre une décision si l'on observe $x=26$. ($\Phi (2.65)\approx 0.996$)