Une entreprise industrielle de Casablanca fabrique des pièces métalliques. La masse $X$ (en grammes) d'une pièce suit une loi normale de moyenne $\mu =200$ g et d'écart-type $\sigma =5$ g.

Partie A – Étude de la loi normale

1. Calculer $P(190\le X\le 210)$. Interpréter ce résultat.
2. Calculer $P(X>207,9)$. Arrondir au millième.
   On donne : $\Phi (1,58)\approx 0,943$.
3. On considère qu'une pièce est « conforme » si sa masse est comprise entre $191$ g et $209$ g. Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme. Arrondir au millième.
   On donne : $\Phi (1,8)\approx 0,964$.

Partie B – Loi binomiale associée

On prélève un lot de $15$ pièces. On note $Z$ le nombre de pièces non conformes dans ce lot.

1. En utilisant le résultat de A.3, déterminer la loi de probabilité suivie par $Z$ et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que le lot soit entièrement conforme (aucune pièce non conforme). Arrondir au millième.
   On donne : $0,928^{15}\approx 0,319$.
3. Un lot est accepté si le nombre de pièces non conformes est inférieur ou égal à $1$. Exprimer $P(Z\le 1)$ en fonction de la probabilité $q=P(\text{pieˋce non conforme})$ et de $n=15$, puis calculer une valeur numérique approchée.
   On donne : $0,928^{14}\approx 0,344$ ; $q=0,072$.

Partie C – Réflexion critique

Le directeur souhaite que la probabilité d'acceptation du lot $P(Z\le 1)$ soit supérieure à $0,85$. Au vu des calculs précédents, l'objectif est-il atteint ? Que devrait-on modifier dans le procédé de fabrication pour l'atteindre ?

Exercice 6 — Tirage avec et sans remise dans une urne

Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires (10 boules au total). On effectue des tirages successifs dans cette urne.

Partie A — Tirage sans remise

On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne. On note $X$ le nombre de boules blanches obtenues.

1. Justifier que $X$ ne suit pas une loi binomiale.

2. Déterminer la loi de probabilité de $X$ en calculant $P(X=k)$ pour $k\in \{0,1,2,3\}$. (On exprimera les probabilités sous forme de fractions irréductibles.)

3. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.

4. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

Partie B — Tirage avec remise et loi binomiale

On tire maintenant 3 boules successivement avec remise. On note $Y$ le nombre de boules blanches obtenues.

5. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

6. Comparer $E(X)$ et $E(Y)$ d'une part, $V(X)$ et $V(Y)$ d'autre part. Commenter.

Partie C — Schéma répété

On répète l'expérience « tirer 3 boules avec remise » un grand nombre de fois ($n=90$ répétitions indépendantes). On note $Z$ le nombre de répétitions pour lesquelles on obtient exactement 2 boules blanches.

7. Déterminer la loi de $Z$. Calculer $E(Z)$ et $\sigma (Z)$.

8. En utilisant l'inégalité de concentration $P(|Z-E(Z)|\ge 2\sigma (Z))\le 1/4$ (inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $k=2$), majorer la probabilité que $Z$ s'écarte de son espérance de plus de $2\sigma (Z)$.

Exercice 5 — Pannes d'un réseau téléphonique à Fès

Le service technique d'un opérateur téléphonique à Fès modélise le nombre de pannes survenant sur son réseau par heure par une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda =3$.

Partie A — Loi de Poisson

1. Calculer les probabilités suivantes (arrondir à $10^{-4}$) :

• a) $P(X=0)$ : aucune panne en une heure.
• b) $P(X\le 2)$
• c) $P(X\ge 4)$

2. Donner $E(X)$ et $V(X)$. Que remarque-t-on ?

3. Déterminer la valeur entière $k_0$ telle que $P(X=k_0)$ soit maximale. (On cherchera $k_0$ en étudiant le rapport $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}$.)

Partie B — Approximation par la loi de Poisson

On considère maintenant que chaque seconde, indépendamment des autres, une panne peut survenir avec une probabilité $p=\frac{1}{1200}$. On observe le réseau pendant $n=3600$ secondes (une heure). On note $Y$ le nombre de pannes survenues.

4. Quelle est la loi exacte de $Y$ ? Préciser ses paramètres, son espérance et sa variance.

5. Justifier que $Y$ peut être approché par une loi de Poisson et préciser son paramètre. Comparer avec $X$.

6. En utilisant l'approximation de Poisson, calculer $P(Y=0)$ et comparer avec $P(X=0)$ obtenu en A.1.a). Conclure.

Partie C — Réflexion

7. La direction souhaite que la probabilité d'avoir au moins une panne par heure soit inférieure à 10 %. Si le paramètre de la loi de Poisson est $\lambda$, exprimer $P(X\ge 1)$ en fonction de $\lambda$, puis déterminer si $\lambda =3$ satisfait cette contrainte.

Un entrepôt logistique à Casablanca traite des colis dont le poids (en kg) suit une loi normale de moyenne $\mu$ = 12 kg et d'écart-type $\sigma$ = 2,5 kg. On note X la variable aléatoire représentant le poids d'un colis choisi au hasard.

1. Calculer P(X > 15) et P(9 $\le$ X $\le$ 16). On utilisera la table de la loi normale centrée réduite.
2. Un colis est dit « hors gabarit » si son poids est supérieur à 18 kg. Calculer la probabilité qu'un colis soit hors gabarit. En déduire, pour un lot de 200 colis, le nombre moyen de colis hors gabarit ainsi que l'écart-type correspondant.
3. On prélève un échantillon de n = 100 colis. On note f la fréquence empirique des colis hors gabarit dans cet échantillon. La proportion théorique est p = P(X > 18). Construire un intervalle de confiance au niveau 95 % pour p. Conclure si f = 0,008.
4. Le gérant souhaite que 90 % des colis pèsent entre a et b kg, avec a = $\mu$ - c et b = $\mu$ + c (intervalle symétrique autour de la moyenne). Déterminer la valeur de c. On rappelle que Φ(1,645) ≈ 0,95.

Une chaîne de production fabrique des ampoules. On sait que $8\%$ des ampoules sont défectueuses. Un lot de $n=200$ ampoules est contrôlé. Soit $X$ le nombre d'ampoules défectueuses.

1. Quelle est la loi de $X$ ? Calculer $E(X)$ et $\sigma (X)$.
2. Justifier qu'on peut approcher $X$ par une loi normale et préciser ses paramètres.
3. Calculer $P(X\le 20)$ à l'aide de l'approximation normale. ($\Phi (1.52)\approx 0.936$)
4. Calculer $P(12\le X\le 24)$. ($\Phi (0.76)\approx 0.776$, $\Phi (2.27)\approx 0.988$)
5. On décide que le lot est "hors norme" si $X\ge 25$. Calculer cette probabilité et prendre une décision si l'on observe $x=26$. ($\Phi (2.65)\approx 0.996$)

Énoncé

Un sac contient $6$ jetons indiscernables au toucher portant les numéros $1$, $1$, $1$, $1$, $0$ et $2$. On tire au hasard, successivement et sans remise, $3$ jetons du sac. On considère les événements :

• $A$ : « la somme des numéros obtenus est égale à $3$ » ;
• $B$ : « le premier jeton tiré porte le numéro $2$ ».

1. Montrer que $P(A)=\frac{2}{5}$ et $P(B)=\frac{1}{6}$.
2. Calculer $P_B(A)$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
3. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la somme des trois numéros tirés. Déterminer la loi de $X$, puis calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

Énoncé

Une urne contient $4$ boules indiscernables au toucher : une blanche et trois rouges. On tire au hasard une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne. On répète ce procédé jusqu'à obtenir deux boules successives de même couleur, puis on s'arrête. Soit $X$ la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'expérience s'arrête.

1. Calculer $P(X=2)$ et $P(X=3)$.

2. Montrer que pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $P(X=2k)=\frac{5}{8}{\left(\frac{3}{16}\right)}^{k-1}$ et $P(X=2k+1)={\left(\frac{3}{16}\right)}^k$.

Une machine produit des pièces métalliques. On admet que chaque pièce est défectueuse, indépendamment des autres, avec une probabilité $p=0,05$. On prélève au hasard un lot de $8$ pièces dans la production et on note $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi ces $8$ pièces.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse (arrondir au millième).
3. En déduire la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse (arrondir au millième).
4. Calculer la probabilité qu'exactement une pièce soit défectueuse (arrondir au millième).
5. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Une joueuse de basket réussit chaque lancer franc avec une probabilité $p=\frac{4}{5}$, indépendamment des autres lancers. Lors d'un entraînement, elle effectue $5$ lancers francs. On note $X$ le nombre de lancers réussis.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'elle réussisse les $5$ lancers (arrondir au millième).
3. Calculer la probabilité qu'elle réussisse exactement $4$ lancers (arrondir au millième).
4. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Un jeu coûte $5$ € pour jouer. On tire une boule dans une urne contenant $3$ boules rouges et $7$ boules bleues.

• Si la boule est rouge, on gagne $12$ €.
• Si la boule est bleue, on ne gagne rien.

Soit $G$ le gain net (gains moins le coût de la mise).

1. Dresser la loi de probabilité de $G$.

2. Calculer $E(G)$.

3. Ce jeu est-il équitable ? Favorable ou défavorable au joueur ?

Un fabricant de pièces sait que $5\%$ de sa production est défectueuse. On prélève $n=15$ pièces au hasard (avec remise). Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses.

1. Donner la loi de $X$.

2. Calculer $P(X=0)$ et $P(X\ge 2)$ (arrondis à $10^{-4}$).

3. Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X\ge k)\le 0,05$.

Une urne contient $4$ boules blanches numérotées $1,2,3,4$ et $2$ boules noires numérotées $1,2$. On tire $2$ boules simultanément. Soit $X$ la somme des numéros des boules tirées.

1. Lister tous les tirages possibles et leurs probabilités.

2. Dresser la loi de probabilité de $X$.

3. Calculer $E(X)$.

Un QCM comporte $6$ questions indépendantes. Pour chaque question, $4$ réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat répond entièrement au hasard à chacune des $6$ questions. On note $X$ le nombre de bonnes réponses obtenues.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que le candidat ne donne aucune bonne réponse (arrondir au millième).
3. Calculer la probabilité qu'il donne exactement $2$ bonnes réponses (arrondir au millième).
4. Déterminer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.