Contrôle qualité dans une usine de Casablanca — Bac France 2024

Une usine de Casablanca fabrique des pièces mécaniques. On sait que 5 % des pièces produites sont défectueuses. Un contrôleur prélève un échantillon de 10 pièces de façon indépendante.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse dans l'échantillon. On donnera une valeur arrondie à $10^{-4}$ près.
3. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement une pièce défectueuse. On donnera une valeur arrondie à $10^{-4}$ près.
4. Calculer l'espérance E(X) et l'écart-type $\sigma$(X) de X. Interpréter E(X) dans le contexte de l'exercice.