Suite définie par récurrence — seuil

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1000$ et $u_{n + 1} = 0, 9 \cdot u_{n} + 50$ pour tout $n \geq 0$ .

1. Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ .

2. La suite semble-t-elle convergente ? Vers quelle valeur ?

3. On pose $v_{n} = u_{n} - 500$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique et donner sa raison.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, applique simplement la relation de recurrence en remplacant $u_n$ par la valeur precedente, l'une apres l'autre.

2 Indice 2

Pour la question 2, suppose que la suite converge vers une limite $L$ et remplace $u_{n+1}$ et $u_n$ par $L$ dans la relation de recurrence pour trouver sa valeur.

3 Indice 3

Pour la question 3, calcule $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, remplace $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$, puis fais apparaitre $v_n = u_n - 500$ en factorisant.

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