Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison $r$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ , donc $u_{n} = u_{0} + n r$ . Suite géométrique de raison $q$ : $u_{n + 1} = q u_{n}$ , donc $u_{n} = u_{0} q^{n}$ .

Sommes : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ; somme géométrique $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ ( $q \neq = 1$ ).

🔑 Formules clés à retenir

Arithmétique : $u_{n} = u_{0} + n r$ . Géométrique : $u_{n} = u_{0} q^{n}$ .

Suites numériques — Fiche d'exercices

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3 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

1 exercices

Économies mensuelles d'Inès

Facile

Énoncé

Au début du mois de janvier, Inès dispose de 50 € sur son compte épargne. Chaque mois, elle décide d'y déposer 15 € supplémentaires.

On note $u_{n}$ la somme (en euros) présente sur son compte au début du $n$ -ième mois, avec $u_{1} = 50$ pour le mois de janvier.

1. Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$ .

2. Justifier que la suite $(u_{n})$ est arithmétique et préciser sa raison.

3. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

4. Quelle somme Inès aura-t-elle au début du mois de décembre de la même année ?

5. Au bout de combien de mois la somme dépassera-t-elle $200$ € pour la première fois ?

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Exercices Intermédiaires

1 exercices

Croissance d'une culture de bactéries

Intermédiaire

Énoncé

Dans un laboratoire, on étudie une culture de bactéries. À l'instant initial (heure $0$ ), la culture contient 800 bactéries. On observe que, chaque heure, la population augmente de 25 %.

On note $v_{n}$ le nombre de bactéries au bout de $n$ heures, avec $v_{0} = 800$ .

1. Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$ (arrondir à l'unité).

2. Justifier que la suite $(v_{n})$ est géométrique et préciser sa raison.

3. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .

4. Combien y a-t-il de bactéries au bout de $6$ heures ? (arrondir à l'unité)

5. Un technicien prélève, à la fin de chacune des $5$ premières heures (c'est-à-dire aux heures $1, 2, 3, 4, 5$ ), un échantillon dont la taille égale la population mesurée à cette heure. Calculer le nombre total $S = v_{1} + v_{2} + v_{3} + v_{4} + v_{5}$ de bactéries ainsi comptabilisées (arrondir à l'unité).

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Exercices Difficiles

1 exercices

Deux offres d'abonnement à comparer

Difficile

Énoncé

Une plateforme de cours en ligne propose deux formules d'abonnement. Pour modéliser le coût cumulé payé année après année, on note $n$ le numéro de l'année ( $n \geq 1$ ).

Offre A (tarif fixe croissant). La première année coûte $120$ €, puis le montant payé chaque année augmente de $20$ € par rapport à l'année précédente. On note $a_{n}$ le montant payé lors de l'année $n$ .

Offre B (tarif évolutif). La première année coûte $80$ €, puis le montant payé chaque année est multiplié par $1, 3$ par rapport à l'année précédente. On note $b_{n}$ le montant payé lors de l'année $n$ .

1. Préciser la nature de chacune des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ , ainsi que leurs éléments caractéristiques. Donner $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .

2. Calculer le montant payé par chaque offre lors de la 4e année (arrondir au centime pour l'offre B).

3. On note $T_{A}$ et $T_{B}$ les montants totaux payés au bout de $5$ années pour chaque offre. Calculer $T_{A}$ et $T_{B}$ (arrondir au centime). Quelle offre revient le moins cher sur $5$ ans ?

4. À partir de quelle année le montant annuel de l'offre B dépasse-t-il pour la première fois celui de l'offre A ? Justifier en comparant $a_{n}$ et $b_{n}$ pour les premières valeurs de $n$ .

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