Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique $(u_{n})$ est une fonction définie sur $N$ (ou une partie de $N$ ) qui à chaque entier $n$ associe un réel noté $u_{n}$ , appelé terme de rang $n$ . On distingue $u_{n}$ (le terme) de $(u_{n})$ (la suite entière). Exemple : $u_{n} = 2 n + 1$ donne $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 3$ , $u_{2} = 5$ .

2. Génération par formule explicite

Une suite est définie de façon explicite quand $u_{n}$ s'exprime directement en fonction de $n$ : $u_{n} = f (n)$ . On calcule alors n'importe quel terme sans connaître les précédents. Exemple : $u_{n} = n^{2}$ donne directement $u_{10} = 100$ .

3. Génération par récurrence

Une suite est définie par récurrence quand on donne le premier terme et une relation reliant $u_{n + 1}$ à $u_{n}$ : ${u_{0} = a u_{n + 1} = g (u_{n})$ . Pour obtenir $u_{n}$ , il faut calculer tous les termes précédents. Exemple : $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ donne $u_{1} = 5$ , $u_{2} = 9$ .

4. Sens de variation

Une suite est croissante si $u_{n + 1} \geq u_{n}$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n + 1} \leq u_{n}$ , et monotone si elle est croissante ou décroissante. On étudie le signe de la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ , ou pour une suite à termes strictement positifs on compare le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ .

5. Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ , appelé raison : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ . La différence $u_{n + 1} - u_{n} = r$ est constante. Exemple : $2, 5, 8, 11, \dots$ est arithmétique de raison $r = 3$ .

6. Suites arithmétiques : terme général et somme

Le terme général s'écrit $u_{n} = u_{0} + n r$ (ou $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ ). Une suite arithmétique est croissante si $r > 0$ , décroissante si $r < 0$ , constante si $r = 0$ . La somme de termes consécutifs vaut le nombre de termes multiplié par la demi-somme des extrêmes : $S = (nb termes) \times \frac{premier + dernier}{2}$ . Exemple : $1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050$ .

7. Suites géométriques

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ , appelé raison : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ . Le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ est constant. Exemple : $3, 6, 12, 24, \dots$ est géométrique de raison $q = 2$ .

8. Suites géométriques : terme général et somme

Le terme général s'écrit $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ (ou $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ ). La somme des puissances pour $q \neq = 1$ est $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ . Plus généralement, $S = (premier terme) \times \frac{1 - q ^{nb termes}}{1 - q}$ . Exemple : $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2 ^{11}}{1 - 2} = 2047$ .

9. Sens de variation d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique à premier terme strictement positif : si $q > 1$ elle est croissante, si $0 < q < 1$ elle est décroissante, si $q = 1$ elle est constante. Si $q < 0$ , la suite n'est pas monotone (les termes changent de signe).

10. Représentation graphique

On représente une suite par un nuage de points de coordonnées $(n; u_{n})$ ; on ne relie pas les points. Pour une suite arithmétique, les points sont alignés (la raison joue le rôle d'un coefficient directeur). Pour une suite géométrique, les points suivent une croissance ou décroissance exponentielle.

11. Applications concrètes

Les suites arithmétiques modélisent les évolutions à variation constante (épargne avec versement fixe, remboursement linéaire). Les suites géométriques modélisent les évolutions en pourcentage : une hausse de $t %$ correspond à une multiplication par $q = 1 + \frac{t}{100}$ , une baisse de $t %$ par $q = 1 - \frac{t}{100}$ (intérêts composés, croissance d'une population).

12. Bilan : reconnaître le type d'une suite

Pour savoir si une suite est arithmétique, on calcule plusieurs différences $u_{n + 1} - u_{n}$ : si elles sont toutes égales, c'est une suite arithmétique. Pour le caractère géométrique, on calcule plusieurs quotients $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ : s'ils sont tous égaux, c'est une suite géométrique. Une suite peut n'être ni l'une ni l'autre.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Montrer qu'une suite est arithmétique

Énoncé. On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier $n ⩾ 0$ par $u_{n} = 5 n - 3$ . Démontrer que $(u_{n})$ est arithmétique, préciser son premier terme et sa raison, puis calculer la somme $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{20}$ .

Solution.

Nature de la suite. Pour tout entier $n ⩾ 0$ , on calcule la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n + 1} - u_{n} = (5 (n + 1) - 3) - (5 n - 3) = 5 n + 5 - 3 - 5 n + 3 = 5$ . Cette différence est constante, donc $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $r = 5$ .
Premier terme. En remplaçant $n$ par $0$ : $u_{0} = 5 \times 0 - 3 = - 3$ . Le premier terme est $u_{0} = - 3$ .
Calcul de la somme. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $nombre de termes \times \frac{premier + dernier}{2}$ . Ici il y a $21$ termes (de $u_{0}$ à $u_{20}$ ). Le dernier est $u_{20} = 5 \times 20 - 3 = 97$ . Donc $S = 21 \times \frac{u _{0} + u _{20}}{2} = 21 \times \frac{- 3 + 97}{2} = 21 \times \frac{94}{2} = 21 \times 47 = 987$ .

Exemple 2 — Montrer qu'une suite est géométrique et calculer une somme

Énoncé. Soit la suite $(v_{n})$ définie par $v_{0} = 2$ et, pour tout entier $n ⩾ 0$ , $v_{n + 1} = 3 v_{n}$ . Démontrer que $(v_{n})$ est géométrique, donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer la somme $T = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{6}$ .

Solution.

Nature de la suite. Par définition, pour tout entier $n ⩾ 0$ , $v_{n + 1} = 3 v_{n}$ . Le rapport entre deux termes consécutifs est donc constant et égal à $3$ : la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $v_{0} = 2$ .
Terme général. Pour une suite géométrique, $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ . On obtient ainsi $v_{n} = 2 \times 3^{n}$ pour tout entier $n ⩾ 0$ .
Calcul de la somme. Pour $q \neq = 1$ , on utilise $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ . En factorisant par $v_{0} = 2$ : $T = 2 (1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{6}) = 2 \times \frac{1 - 3 ^{7}}{1 - 3}$ . Comme $3^{7} = 2187$ , on a $T = 2 \times \frac{1 - 2187}{- 2} = 2 \times \frac{- 2186}{- 2} = 2 \times 1093 = 2186$ .

Exemple 3 — Reconnaître la nature d'une suite définie par récurrence

Énoncé. On définit la suite $(w_{n})$ par $w_{0} = 7$ et, pour tout entier $n ⩾ 0$ , $w_{n + 1} = w_{n} - 4$ . Déterminer la nature de $(w_{n})$ , exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer la somme $S = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ pour $q = \frac{1}{2}$ et $n = 5$ .

Solution.

Nature de $(w_{n})$ . Pour tout entier $n ⩾ 0$ , $w_{n + 1} - w_{n} = (w_{n} - 4) - w_{n} = - 4$ . La différence est constante, donc $(w_{n})$ est arithmétique de raison $r = - 4$ et de premier terme $w_{0} = 7$ .
Terme général. Pour une suite arithmétique, $w_{n} = w_{0} + n \times r$ . Ainsi $w_{n} = 7 - 4 n$ pour tout entier $n ⩾ 0$ .
Somme géométrique de raison $\frac{1}{2}$ . On applique la formule $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ avec $q = \frac{1}{2}$ et $n = 5$ . Le numérateur fait intervenir $q^{6} = (\frac{1}{2})^{6} = \frac{1}{64}$ . On a donc $S = \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{64} \times 2 = \frac{63}{32}$ .

🔑 Formules clés à retenir

Suite explicite : $u_{n} = f (n)$ (calcul direct du terme de rang $n$ ).
Suite par récurrence : $u_{0}$ donné et $u_{n + 1} = g (u_{n})$ .
Arithmétique — relation : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .
Arithmétique — terme général : $u_{n} = u_{0} + n r$ et $u_{n} = u_{p} + (n - p) r$ .
Arithmétique — somme : $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \times \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$ .
Somme des premiers entiers : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Géométrique — relation : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
Géométrique — terme général : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ .
Somme des puissances ( $q \neq = 1$ ) : $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
Géométrique — somme générale : $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
Variation d'une hausse de $t %$ : $q = 1 + \frac{t}{100}$ ; baisse : $q = 1 - \frac{t}{100}$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Ne pas confondre $u_{n}$ et $(u_{n})$ : $u_{n}$ est un nombre (le terme de rang $n$ ), $(u_{n})$ désigne la suite entière.
Différence constante vs quotient constant : arithmétique = on ajoute toujours $r$ ; géométrique = on multiplie toujours par $q$ . Une erreur fréquente est de confondre les deux.
Piège du comptage des termes : de $u_{p}$ à $u_{n}$ , il y a $n - p + 1$ termes (et non $n - p$ ). Pour $u_{0}$ à $u_{n}$ , cela fait $n + 1$ termes.
Formule de somme géométrique : valable uniquement si $q \neq = 1$ . Si $q = 1$ , tous les termes sont égaux et la somme vaut simplement $(nb termes) \times u_{0}$ .
$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et non $u_{0} \times q^{n - 1}$ : l'exposant est le rang $n$ quand on part de $u_{0}$ . Attention si la suite commence à $u_{1}$ .
Pourcentage : une hausse de $20%$ correspond à $q = 1, 2$ , pas à $q = 0, 2$ . Une baisse de $20%$ correspond à $q = 0, 8$ .
Hausses successives : deux hausses de $10%$ ne donnent pas $+ 20%$ mais $\times 1, 1 \times 1, 1 = \times 1, 21$ , soit $+ 21%$ .
Sens de variation et signe de $q$ : les règles ( $q > 1$ croissante, etc.) supposent un premier terme positif. Si $q < 0$ , la suite n'est jamais monotone.
Représentation : les points $(n; u_{n})$ ne se relient jamais par une courbe continue, car une suite n'est définie que pour des entiers.

Suites numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Lumaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

Suite géométrique et terme général — Bac Sénégal 2023

Facile

Énoncé

Exercice 2 — Suite géométrique

On considère la suite $(v_{n})$ définie par : $v_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 2 \times v_{n}$ .

Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison q et le premier terme $v_{0}$ .
Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
Calculer $v_{8}$ .
Calculer la somme $T = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{8}$ .

Ma réponse

Suites numériques

Suites numériques — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

2. Génération par formule explicite

3. Génération par récurrence

4. Sens de variation

5. Suites arithmétiques

6. Suites arithmétiques : terme général et somme

7. Suites géométriques

8. Suites géométriques : terme général et somme

9. Sens de variation d'une suite géométrique

10. Représentation graphique

11. Applications concrètes

12. Bilan : reconnaître le type d'une suite

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Montrer qu'une suite est arithmétique

Exemple 2 — Montrer qu'une suite est géométrique et calculer une somme

Exemple 3 — Reconnaître la nature d'une suite définie par récurrence

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Suites numériques — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Suite géométrique et terme général — Bac Sénégal 2023

Suite arithmétique et calcul de somme

Identifier le type de suite

Suite arithmétique : économies mensuelles

Suite géométrique : doublement du capital

Encadrement et monotonie d'une suite explicite

Suite arithmétique : raison, terme général et somme

Récurrence sur une suite récurrente affine

Calcul de somme de termes

Somme des 5 premiers termes d'une suite arithmétique

Suite arithmétique et somme

Suite géométrique simple

Problème avec une suite géométrique

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique

Culture de bactéries qui double

Suites arithmétique et géométrique : terme général

Suite arithmétique — terme général

Suite géométrique — terme général

Économies mensuelles d'Inès

Exercices Intermédiaires

Sommes et applications

Suite géométrique : intérêts composés

Suite auxiliaire : récurrence arithmético-géométrique

Théorème des gendarmes

Suite récurrente : changement de variable vers géométrique

Suite croissante : u<sub>n</sub> = n/(n+1)

Suite récurrente avec racine carrée : encadrement et croissance

Suite homographique et suite arithmétique auxiliaire

Majoration géométrique d'une suite récurrente

Propriétés des suites

Démonstration d'une suite géométrique

Placement bancaire — suite géométrique

Abonnés d'une chaîne et total cumulé

Sommes de termes : $1+2+\dots+n$ et $1+q+\dots+q^{n}$

Somme de 3 à 99 de raison 4

Sens de variation d'une suite

Croissance d'une culture de bactéries

Exercices Difficiles

Suites adjacentes — constante e

Suite homographique, suite géométrique auxiliaire et vitesse de convergence

Résolution d'un problème concret avec une suite

Problème de croissance démographique

Calcul de la limite d'une suite

Démonstration d'une propriété de suite arithmétique

Démonstration d'une somme de suite géométrique

Problème concret avec une suite arithmétique

Remboursement d'emprunt

Concentration d'un médicament dans le sang

Application : modélisation d'une épargne par une suite

Suite définie par récurrence — seuil

Raisonnement par récurrence

Deux offres d'abonnement à comparer

Exercices supplémentaires

—