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Polynôme à paramètre

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit P(x) = − (m+2)x + 2m, où m est un paramètre réel.

  1. Calculer le discriminant en fonction de m.
  2. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles P a deux racines réelles distinctes, une racine double, ou pas de racine réelle.
  3. Trouver m tel que les racines de P vérifient .
  4. Pour m = 2, factoriser P(x).

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour le discriminant d'un polynome $ax^2+bx+c$, utilise la formule $\\Delta = b^2 - 4ac$ en identifiant bien a, b et c dans l'expression de P(x) donnee en fonction de m.
2 Indice 2
Une fois $\\Delta$ mis sous une forme simplifiee, etudie son signe : cherche s'il peut etre nul, toujours positif, ou parfois negatif selon la valeur de m.
3 Indice 3
Pour la question 3, utilise les relations entre coefficients et racines (somme des racines egale a $-b/a$) pour obtenir une equation en m. Pour la question 4, remplace m par 2 dans P(x) et reconnais une identite remarquable.

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