1. Un rectangle a une longueur de $(x+5)$ cm et une largeur de $(x-2)$ cm. Exprimer l'aire $A(x)$ en fonction de $x$. Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle $24$ cm${}^2$ ?
2. Factoriser complètement : $3x^2-12$ puis résoudre $3x^2-12=0$.

Un carré de côté $x$ cm est élargi : sa longueur augmente de 3 cm et sa largeur augmente de 2 cm, formant un rectangle.

1. Exprimer l'aire du rectangle A(x) en développant.
2. De combien l'aire augmente-t-elle par rapport au carré initial ?
3. Pour quelle valeur de $x$ l'aire du rectangle est-elle le double de l'aire du carré ?

Simplifier les fractions suivantes en factorisant le numérateur et/ou le dénominateur :

1. ($x^2$ - 4) / (x - 2)
2. ($x^2$ - 9) / (x + 3)
3. ($x^2$ + 4x + 4) / (x + 2)
4. Résoudre l'équation : ($x^2$ - 25) / (x - 5) = 0

Résoudre en factorisant :

1. $x^2$ - x - 6 = 0
2. $4x^2$ - 12x + 9 = 0
3. $x^2$ - 9 = 0

On considère le polynôme $P(x)=2x^4-9x^3+14x^2-9x+2$.

1. Vérifier que $0$ n'est pas une racine de $P(x)$ et montrer que $2$ est une racine.

2. Déterminer $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-2)Q(x)$.

3. Montrer que si $a$ est une racine non nulle de $P(x)$, alors $\frac{1}{a}$ l'est aussi ; en déduire que $Q\left(\frac{1}{2}\right)=0$.

4. Factoriser complètement $P(x)$, puis résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $P(x)=0$ et $P(|x|)=0$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère le polynôme :

$P(x)=n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1$.

1. Montrer que $1$ est une racine de $P(x)$.

2. Montrer que $P(2)=2^n(n-1)+1$.

3. En remarquant que $P(2)$ fait apparaître la somme $S=2+2^2+\cdots +2^n$, déterminer la valeur de $S$.

Factorisez le polynôme $P(x)=3x^2-12x+12$.

Soit P(x) = $x^2$ − (m+2)x + 2m, où m est un paramètre réel.

1. Calculer le discriminant $\Delta$ en fonction de m.
2. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles P a deux racines réelles distinctes, une racine double, ou pas de racine réelle.
3. Trouver m tel que les racines de P vérifient $x_1+x_2=5$.
4. Pour m = 2, factoriser P(x).

1. Développer $(a+b+c{)}^2$ et en déduire une expression de $ab+bc+ca$.
2. Factoriser $a^3-b^3$ (en vérifiant que $a=b$ est racine et en divisant).
3. Application : factoriser $8x^3-27$ et $x^6-1$.
4. Montrer que si $a+b+c=0$, alors $a^3+b^3+c^3=3abc$.

Soit l'équation (E) : $x^2$ - 2mx + m + 2 = 0, où m est un paramètre réel.

1. Calculer le discriminant $\Delta$ en fonction de m.
2. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles (E) admet deux solutions distinctes.
3. Pour quelles valeurs de m, les deux solutions sont strictement positives ?

Un agriculteur dispose de $40$ mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire contre un mur déjà existant (le mur sert d'un des quatre côtés, il n'a donc pas besoin de clôture). On note $x$ la longueur (en mètres) de l'un des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprimer en fonction de $x$ la longueur du côté parallèle au mur, puis montrer que l'aire de l'enclos est $A(x)=-2x^2+40x$.

2. Préciser l'ensemble des valeurs de $x$ possibles, puis déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire est maximale et calculer cette aire maximale (on utilisera la forme canonique, sans dérivation).

3. L'agriculteur souhaite une aire de $150{\text{m}}^2$. Sans calculer les solutions, donner la somme et le produit des deux valeurs de $x$ convenant, puis résoudre l'équation $A(x)=150$.

On cherche deux nombres réels dont la somme vaut $7$ et le produit vaut $10$.

1. Justifier que ces deux nombres sont les racines de l'équation $x^2-7x+10=0$, puis déterminer ces deux nombres.

2. On considère maintenant, pour un réel $m$, l'équation $(E_m):x^2-7x+m=0$. Discuter, selon les valeurs de $m$, le nombre de solutions réelles de $(E_m)$.

3. Pour quelle valeur de $m$ l'équation $(E_m)$ admet-elle une racine double ? Déterminer alors cette racine double.

Une entreprise fabrique des plaques rectangulaires de tôle. Le périmètre de chaque plaque est fixé à $36$ cm. On note $x$ (en cm) la longueur de l'un des côtés de la plaque.

1. Exprimer en fonction de $x$ la longueur de l'autre côté, puis montrer que l'aire de la plaque est $A(x)=-x^2+18x$.

2. Préciser l'ensemble des valeurs possibles de $x$, puis déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire est maximale et calculer cette aire (on utilisera la forme canonique, sans dérivation).

3. On souhaite une aire de $72{\text{cm}}^2$. Sans calculer les solutions, donner la somme et le produit des deux valeurs de $x$ convenant, puis résoudre l'équation $A(x)=72$.

L'équation $x^2-(m+1)x+m=0$ admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation a deux racines réelles distinctes.

2. Pour $m=2$, résoudre l'équation et vérifier les formules de Viète.

On dispose d'une clôture de $40$ m pour délimiter un jardin rectangulaire contre un mur (le mur forme un côté, donc seuls 3 côtés nécessitent de la clôture).

Soit $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur.

1. Exprimer l'aire $A(x)$ en fonction de $x$.

2. Déterminer la valeur de $x$ qui maximise l'aire, et calculer l'aire maximale.