Test médical : dépistage et probabilité a posteriori

Une maladie touche $4\%$ d'une population. On dispose d'un test de dépistage. Lorsqu'une personne est malade, le test est positif dans $90\%$ des cas. Lorsqu'une personne n'est pas malade, le test est positif à tort dans $5\%$ des cas.

On choisit une personne au hasard dans cette population. On note :

$\bullet$ $M$ l'événement « la personne est malade » ;

$\bullet$ $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Traduire l'énoncé par $P(M)$, $P_M(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$, puis construire l'arbre pondéré.

2. Calculer $P(M\cap T)$ et $P(\overline{M}\cap T)$.

3. En déduire la probabilité que le test soit positif.

4. Le test d'une personne est positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? Arrondir au centième et commenter.