Probabilités conditionnelles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

Univers et événements

Une expérience aléatoire a un ensemble de résultats possibles appelé univers, noté $Ω$ . Un événement est un sous-ensemble de $Ω$ . Par exemple, en lançant un dé, $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ et « obtenir un nombre pair » est l'événement $A = {2, 4, 6}$ .

Réunion, intersection, événement contraire

Pour deux événements $A$ et $B$ : l'intersection $A \cap B$ est l'événement « $A$ et $B$ » ; la réunion $A \cup B$ est l'événement « $A$ ou $B$ ». L'événement contraire $\overline{A}$ se réalise quand $A$ ne se réalise pas, et $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .

Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$ . Dans ce cas $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Probabilité conditionnelle

Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ mesure la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ est déjà réalisé. On la note $P_{B} (A)$ et $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} .$ Exemple : sachant qu'un élève tiré au sort est une fille, quelle est la probabilité qu'elle soit demi-pensionnaire ?

Probabilité d'une intersection

En réorganisant la définition, on obtient une formule très utile pour calculer la probabilité d'une intersection : $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A) = P (A) \times P_{A} (B) .$ C'est exactement ce que l'on lit sur une branche d'arbre.

Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une expérience à plusieurs étapes. Sur chaque branche on inscrit une probabilité : les premières branches portent les $P (B)$ , les branches secondaires portent les probabilités conditionnelles $P_{B} (A)$ .

Règles de l'arbre

Deux règles fondamentales : (1) la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ; (2) la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin. Ainsi le chemin $B$ puis $A$ donne $P (B) \times P_{B} (A) = P (A \cap B)$ .

Partition de l'univers

Des événements $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ forment une partition de $Ω$ s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est $Ω$ tout entier. Le cas le plus simple est le couple ${B, \overline{B}}$ .

Formule des probabilités totales

Si $B_{1}, \dots, B_{n}$ forment une partition de $Ω$ , alors pour tout événement $A$ : $P (A) = P (A \cap B_{1}) + \dots + P (A \cap B_{n}) .$ Avec la partition ${B, \overline{B}}$ : $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B})$ . Sur un arbre, cela revient à additionner les chemins qui mènent à $A$ .

Indépendance de deux événements

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B) .$ De façon équivalente (si $P (B) \neq = 0$ ), $P_{B} (A) = P (A)$ .

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Arbre pondéré et formule des probabilités totales

Énoncé. Dans un lycée, $60%$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $30%$ sont externes ; parmi les garçons, $50%$ sont externes. On choisit un élève au hasard. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $E$ l'événement « l'élève est externe ». Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit externe ?

Solution.

On construit un arbre pondéré. Le premier niveau sépare $F$ et $\overline{F}$ (les garçons) : $P (F) = 0, 6, P (\overline{F}) = 1 - 0, 6 = 0, 4.$
Le second niveau porte les probabilités conditionnelles données : $P_{F} (E) = 0, 3, P_{\overline{F}} (E) = 0, 5.$
Probabilité d'un chemin. La probabilité d'une branche complète est le produit des probabilités rencontrées : $P (F \cap E) = P (F) P_{F} (E) = 0, 6 \times 0, 3 = 0, 18,$ $P (\overline{F} \cap E) = P (\overline{F}) P_{\overline{F}} (E) = 0, 4 \times 0, 5 = 0, 2.$
Formule des probabilités totales. Comme $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers, $P (E) = P (F \cap E) + P (\overline{F} \cap E) = 0, 18 + 0, 2 = 0, 38.$
Vérification. La proportion d'externes attendue se situe entre $0, 3$ et $0, 5$ : on trouve bien $0, 38$ , plus proche de $0, 3$ car les filles, majoritaires, sont moins souvent externes. La probabilité cherchée est $P (E) = 0, 38$ , soit $38%$ .

Exemple 2 — Probabilité conditionnelle et formule de Bayes

Énoncé. Une usine possède deux machines $A$ et $B$ . La machine $A$ produit $70%$ des pièces et la machine $B$ les $30%$ restants. La machine $A$ produit $4%$ de pièces défectueuses, la machine $B$ en produit $6%$ . On prélève une pièce au hasard ; elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine $B$ ?

Solution.

On note $A$ , $B$ et $D$ les événements « la pièce vient de $A$ », « de $B$ » et « la pièce est défectueuse ». L'énoncé donne $P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 3, P_{A} (D) = 0, 04, P_{B} (D) = 0, 06.$
Probabilité totale d'une pièce défectueuse. $A$ et $B$ partitionnent la production : $P (D) = P (A) P_{A} (D) + P (B) P_{B} (D) .$
On remplace : $P (D) = 0, 7 \times 0, 04 + 0, 3 \times 0, 06 = 0, 028 + 0, 018 = 0, 046.$
Formule de Bayes. On cherche $P_{D} (B)$ , la probabilité que la pièce vienne de $B$ sachant qu'elle est défectueuse : $P_{D} (B) = \frac{P ( B \cap D )}{P ( D )} = \frac{P ( B ) P _{B} ( D )}{P ( D )} = \frac{0 , 018}{0 , 046} .$
Calcul : $P_{D} (B) = \frac{0 , 018}{0 , 046} \approx 0, 391,$ soit environ $39, 1%$ .
Vérification. Les pièces défectueuses se répartissent en $0, 028$ venant de $A$ et $0, 018$ venant de $B$ , de somme $0, 046 = P (D)$ . Bien que $B$ soit plus souvent défaillante, elle ne fabrique que $30%$ des pièces : elle n'est donc responsable que d'environ $39%$ des défauts.

Exemple 3 — Test d'indépendance de deux événements

Énoncé. On interroge $200$ personnes sur leur âge et leur usage des transports en commun. On obtient le tableau suivant : parmi $120$ jeunes, $90$ utilisent les transports ; parmi $80$ adultes, $60$ les utilisent. On note $J$ l'événement « la personne est jeune » et $T$ l'événement « la personne utilise les transports ». Les événements $J$ et $T$ sont-ils indépendants ?

Solution.

Rappel du critère. Deux événements $J$ et $T$ sont indépendants si et seulement si $P (J \cap T) = P (J) \times P (T) .$
Probabilités marginales. Il y a $120$ jeunes sur $200$ , et au total $90 + 60 = 150$ utilisateurs des transports : $P (J) = \frac{120}{200} = 0, 6, P (T) = \frac{150}{200} = 0, 75.$
Probabilité de l'intersection. Les jeunes utilisant les transports sont au nombre de $90$ : $P (J \cap T) = \frac{90}{200} = 0, 45.$
Comparaison. On calcule le produit : $P (J) \times P (T) = 0, 6 \times 0, 75 = 0, 45.$
Conclusion. Comme $P (J \cap T) = 0, 45 = P (J) \times P (T)$ , les événements $J$ et $T$ sont indépendants. On peut le confirmer par les probabilités conditionnelles : $P_{J} (T) = \frac{P ( J \cap T )}{P ( J )} = \frac{0 , 45}{0 , 6} = 0, 75 = P (T),$ l'usage des transports ne dépend donc pas de l'âge.

🔑 Formules clés à retenir

Probabilité conditionnelle : $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ avec $P (B) \neq = 0$
Probabilité d'une intersection : $P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A) = P (A) \times P_{A} (B)$
Probabilités totales (partition ${B, \overline{B}}$ ) : $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B}) = P (B) P_{B} (A) + P (\overline{B}) P_{\overline{B}} (A)$
Probabilités totales (cas général) : si $B_{1}, \dots, B_{n}$ forment une partition, $P (A) = k = 1 \sum n P (A \cap B_{k})$
Indépendance : $A$ et $B$ indépendants $⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B) ⟺ P_{B} (A) = P (A)$
Événement contraire : $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
Réunion : $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Indépendant $\neq =$ incompatible : ne pas confondre. Incompatibles signifie $A \cap B = \emptyset$ (impossibles ensemble). Indépendants signifie $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Sens du conditionnement : $P_{B} (A)$ (probabilité de $A$ sachant $B$ ) n'est pas $P_{A} (B)$ . Attention à bien repérer ce qui est « déjà réalisé » : c'est l'événement écrit en indice.
Repère sur l'arbre : les probabilités des branches de second niveau sont des probabilités conditionnelles, pas $P (A)$ : la branche après $B$ porte $P_{B} (A)$ .
Multiplier puis additionner : on multiplie le long d'un chemin (intersection) et on additionne entre chemins menant au même événement (probabilités totales).
Vérification : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours faire $1$ ; sinon il y a une erreur.

Probabilités conditionnelles — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Lumaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 50 corrigés

Exercices Faciles

20 exercices

Probabilités simples — dé et pièce

Facile

Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces. 1) P(obtenir un pair) ? 2) P(obtenir >4) ? 3) P(pair OU >4) ?

Ma réponse

Probabilités conditionnelles

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Univers et événements

Réunion, intersection, événement contraire

Événements incompatibles

Probabilité conditionnelle

Probabilité d'une intersection

Arbres pondérés

Règles de l'arbre

Partition de l'univers

Formule des probabilités totales

Indépendance de deux événements

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Arbre pondéré et formule des probabilités totales

Exemple 2 — Probabilité conditionnelle et formule de Bayes

Exemple 3 — Test d'indépendance de deux événements

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

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Exercices Faciles

Probabilités simples — dé et pièce

Événement complémentaire

Tableau de probabilités

Loi binomiale B(5, 0,4) — calculs directs

Urne 4 rouges/6 bleues : probabilité d'une boule bleue

Loterie

Choix de fruits

Lancer d'un dé

Urne 4 rouges/6 bleues : probabilité d'une boule rouge

Choix d'étudiants

Sondage sur les préférences

Probabilité d'un tirage

Loi de probabilité

Choix d'une ville

Tirage d'une boule

Pile ou face : événements incompatibles

Club de sport : filles, garçons et tennis

Trajets domicile-lycée : bus, vélo et retard

Probabilité conditionnelle — définition et calcul

Météo et retard du bus : arbre pondéré

Exercices Intermédiaires

Variable aléatoire — espérance

Variance et écart-type d'une loi binomiale

Épreuves de mathématiques

Roulette française

Jeux de société

Pièce et dé : face et un 5

Tirages sans remise : deux boules rouges

Tirages avec remise : deux billes rouges

Variable aléatoire

Loi binomiale : 6 faces sur 10 lancers

Pièce et dé : face et un 4

Filtre anti-spam : probabilité totale et probabilité a posteriori

Test médical : dépistage et probabilité a posteriori

Formule des probabilités totales

Arbre pondéré et probabilités conditionnelles

Test antigénique : probabilité totale et probabilité a posteriori

Exercices Difficiles

Loi binomiale : QCM de 10 questions

Variance d'une variable aléatoire

Loi binomiale - tests

Urne : rouge puis bleue avec remise

Estimation d'une population

Boule rouge ou bleue dans une urne

Loi binomiale appliquée

Calcul de la variance

Trois fournisseurs de composants et indépendance

Trois ateliers de production et indépendance

Indépendance de deux événements

Dépistage médical — valeur prédictive positive

Succession de tirages et probabilités

Deux machines et indépendance d'événements

Exercices supplémentaires

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Quiz — Probabilités conditionnelles

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé