Trois ateliers de production et indépendance

Une usine fabrique des pièces dans trois ateliers $X$, $Y$ et $Z$. L'atelier $X$ produit $40\%$ des pièces, l'atelier $Y$ en produit $35\%$ et l'atelier $Z$ les $25\%$ restants. Parmi les pièces de $X$, $2\%$ sont non conformes ; parmi celles de $Y$, $6\%$ sont non conformes ; parmi celles de $Z$, $4\%$ sont non conformes.

On prélève une pièce au hasard dans la production. On note :

$\bullet$ $X$, $Y$, $Z$ les événements « la pièce provient respectivement de l'atelier $X$, $Y$, $Z$ » ;

$\bullet$ $N$ l'événement « la pièce est non conforme ».

1. Construire l'arbre pondéré de la situation.

2. Montrer que la probabilité qu'une pièce soit non conforme est $P(N)=0,039$.

3. La pièce prélevée est non conforme. Calculer la probabilité qu'elle provienne de l'atelier $Y$. Arrondir au centième.

4. Les événements $Z$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.