Filtre anti-spam : probabilité totale et probabilité a posteriori

Sur une messagerie électronique, $20\%$ des courriels reçus sont des spams (courriels indésirables). Un filtre anti-spam analyse chaque courriel. Lorsqu'un courriel est un spam, le filtre le signale dans $95\%$ des cas. Lorsqu'un courriel n'est pas un spam, le filtre le signale à tort dans $3\%$ des cas.

On choisit un courriel reçu au hasard. On note :

$\bullet$ $S$ l'événement « le courriel est un spam » ;

$\bullet$ $D$ l'événement « le courriel est signalé par le filtre ».

1. Traduire l'énoncé par $P(S)$, $P_S(D)$ et $P_{\overline{S}}(D)$, puis construire l'arbre pondéré.

2. Calculer $P(S\cap D)$ et $P(\overline{S}\cap D)$.

3. En déduire la probabilité qu'un courriel soit signalé par le filtre.

4. Un courriel est signalé par le filtre. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement un spam ? Arrondir au centième et commenter.