Résolution d'une équation $e^x - e^{-x} = k$

Soit $f(x)=e^x-e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $f$ est impaire.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.

4. En déduire que l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution, et donner son signe.