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Étude complète de $f(x)=(x-1)e^x$

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit définie sur par .

1. Calculer et le simplifier.

2. Dresser le tableau de variations complet de .

3. Déterminer les limites de en et en .

4. Montrer que la tangente à la courbe de en a pour équation .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour deriver $f(x)=(x-1)e^x$, utilise la formule de derivation d'un produit $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=e^x$, puis mets $e^x$ en facteur pour simplifier.
2 Indice 2
Le signe de $f'(x)$ depend uniquement du signe de $x$ puisque $e^x$ est toujours strictement positif : etudie ce signe pour construire le tableau de variations.
3 Indice 3
Pour les limites en $-\\infty$, utilise la croissance comparee entre $x$ et $e^x$ (le terme exponentiel l'emporte). Pour la tangente en $x=0$, calcule $f(0)$ et $f'(0)$ et utilise la formule $y=f(0)+f'(0)(x-0)$.

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Croissances comparées — limites en $+\infty$ Retour au chapitre Résolution d'une équation $e^x - e^{-x} = k$