Dérivée d'un produit et variations

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(2x-3)e^x.$$

On rappelle que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, et que ${\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

1. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=(2x-1)e^x$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. Déterminer la valeur exacte du minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.