Fonction exponentielle — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Contenu du cours

Introduction : une fonction égale à sa dérivée

On cherche une fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ . On démontre qu'une telle fonction existe et qu'elle est unique : on l'appelle fonction exponentielle.

Notation $exp$ et nombre $e$

Cette fonction se note $exp$ . On pose $e = exp (1) \approx 2, 718$ . Grâce aux propriétés algébriques, on note pour tout réel $x$ : $exp (x) = e^{x}$ . Ainsi $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e$ .

Relation fonctionnelle

Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b} .$ C'est la propriété fondamentale qui transforme une somme en produit. Par exemple $e^{3} = e^{2 + 1} = e^{2} \times e$ .

Inverse et quotient

Pour tout réel $a$ : $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} et \frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b} .$ Exemple : $e^{- 2} = \frac{1}{e ^{2}}$ et $\frac{e ^{5}}{e ^{3}} = e^{2}$ .

Puissance entière

Pour tout réel $a$ et tout entier $n$ : $(e^{a})^{n} = e^{na} .$ Par exemple $(e^{x})^{3} = e^{3 x}$ et $(e^{2})^{4} = e^{8}$ .

Signe : toujours strictement positif

Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ . En effet $e^{x} = (e^{x /2})^{2} \geq 0$ et ne s'annule jamais car $e^{x} \times e^{- x} = e^{0} = 1$ . Conséquence : dans une étude de signe, le facteur $e^{x}$ se "supprime" car il est toujours positif.

Sens de variation

Comme $exp^{'} = exp$ et que $e^{x} > 0$ , la dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ .

Dérivée de $e^{x}$ et de $e^{k x}$

La dérivée de $x \mapsto e^{x}$ est $x \mapsto e^{x}$ . Pour $k$ réel, la dérivée de $x \mapsto e^{k x}$ est : $(e^{k x})^{'} = k e^{k x} .$ Exemple : la dérivée de $e^{3 x}$ est $3 e^{3 x}$ , celle de $e^{- x}$ est $- e^{- x}$ .

Courbe représentative

La courbe passe par le point $(0; 1)$ , reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses (car $e^{x} > 0$ ), et croît de plus en plus vite. La tangente au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $e^{0} = 1$ .

Équations et inéquations simples

La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a} = e^{b} ⟺ a = b et e^{a} < e^{b} ⟺ a < b .$ On peut donc "identifier les exposants". Exemple : $e^{2 x} = e^{6} ⟺ 2 x = 6 ⟺ x = 3$ .

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Simplifier avec les propriétés de l'exponentielle

Énoncé. Simplifier et écrire sous la forme $e^{k}$ (avec $k$ entier ou simple) l'expression $A = \frac{e ^{5} \times e ^{- 2}}{( e ^{3} ) ^{2}} \times e^{4} .$

Solution.

On rappelle les propriétés algébriques de l'exponentielle, valables pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ : $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}, \frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}, (e^{a})^{n} = e^{an} .$
Au numérateur, on regroupe le produit avec la règle $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ : $e^{5} \times e^{- 2} = e^{5 + (- 2)} = e^{3} .$
Au dénominateur, on utilise la puissance $(e^{a})^{n} = e^{an}$ : $(e^{3})^{2} = e^{3 \times 2} = e^{6} .$
La fraction se simplifie avec $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ : $\frac{e ^{3}}{e ^{6}} = e^{3 - 6} = e^{- 3} .$
Il reste à multiplier par $e^{4}$ : $A = e^{- 3} \times e^{4} = e^{- 3 + 4} = e^{1} = e .$
Conclusion. $A = e$ .

Exemple 2 — Résoudre une équation puis une inéquation

Énoncé. Résoudre dans $R$ : (a) $e^{3 x - 1} = 1$ ; (b) $e^{2 x} < e^{x + 3}$ .

Solution.

On utilise deux propriétés clés de la fonction exponentielle, qui est strictement croissante sur $R$ : $e^{a} = e^{b} ⟺ a = b, e^{a} < e^{b} ⟺ a < b .$
(a) On remarque que $1 = e^{0}$ . L'équation s'écrit donc $e^{3 x - 1} = e^{0}$ .
Par équivalence $e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$ , on obtient $3 x - 1 = 0$ , d'où $x = \frac{1}{3}$ . L'ensemble des solutions est $S = {\frac{1}{3}}$ .
Vérification de (a). Pour $x = \frac{1}{3}$ : $3 \times \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0$ , donc $e^{3 x - 1} = e^{0} = 1$ . C'est correct.
(b) On compare les deux exposants grâce à $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ : $e^{2 x} < e^{x + 3} ⟺ 2 x < x + 3.$
On résout l'inéquation obtenue : $2 x - x < 3$ , soit $x < 3$ . L'ensemble des solutions est $S =] - \infty; 3 [$ .

Exemple 3 — Dériver une fonction du type $e^{k x}$

Énoncé. On donne $f (x) = 3 e^{2 x} - e^{- 5 x}$ définie sur $R$ . Calculer $f^{'} (x)$ , puis donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ .

Solution.

On utilise la formule de dérivation vue en Première : pour tout réel $k$ , la dérivée de $x \mapsto e^{k x}$ est $x \mapsto k e^{k x}$ . Autrement dit $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ .
Pour le premier terme, $k = 2$ : la dérivée de $3 e^{2 x}$ est $3 \times 2 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$ .
Pour le second terme, $k = - 5$ : la dérivée de $e^{- 5 x}$ est $- 5 e^{- 5 x}$ . Avec le signe moins devant, la dérivée de $- e^{- 5 x}$ est $- (- 5) e^{- 5 x} = 5 e^{- 5 x}$ .
En additionnant : $f^{'} (x) = 6 e^{2 x} + 5 e^{- 5 x} .$
L'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 0$ est $y = f^{'} (0) (x - 0) + f (0)$ . On calcule les deux valeurs en utilisant $e^{0} = 1$ : $f (0) = 3 e^{0} - e^{0} = 3 - 1 = 2, f^{'} (0) = 6 e^{0} + 5 e^{0} = 6 + 5 = 11.$
Conclusion. La tangente a pour équation $y = 11 x + 2$ .

🔑 Formules clés à retenir

$e^{0} = 1$ et $e^{1} = e \approx 2, 718$
$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$
$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$
$\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$
$(e^{a})^{n} = e^{na}$
$e^{x} > 0$ pour tout réel $x$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$
$e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$
$e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

$e^{x} > 0$ TOUJOURS : dans une étude de signe, un facteur $e^{x}$ ne change jamais le signe, on peut l'ignorer et étudier seulement l'autre facteur.
$e^{x}$ ne s'annule jamais : l'équation $e^{x} = 0$ n'a aucune solution.
Somme $\to$ produit : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ (on additionne les exposants quand on multiplie).
Le signe $-$ devient un inverse : $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ .
Pour dériver $e^{k x}$ , ne pas oublier de multiplier par $k$ : la dérivée de $e^{- x}$ est $- e^{- x}$ , pas $e^{- x}$ .
La fonction étant strictement croissante, dans une inéquation $e^{A} < e^{B}$ le sens se conserve : on n'inverse jamais le symbole.

Fonction exponentielle — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

15 exercices

Propriétés de l'exponentielle et simplification

Facile

Énoncé

On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ : $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ , $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ , $(e^{a})^{n} = e^{na}$ et $e^{0} = 1$ .

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $e^{k}$ , où $k$ est un réel :

$A = e^{7} \times e^{- 3}$ ; $B = \frac{e ^{2}}{e ^{6}}$ ; $C = (e^{- 2})^{4}$ .

2. Simplifier l'expression suivante et donner le résultat sous la forme $e^{k}$ :

$D = \frac{e ^{5} \times ( e ^{2} ) ^{3}}{e ^{4}}$ .

3. Soit $x$ un réel. Écrire $E = e^{x + 1} \times e^{2 x - 3}$ sous la forme $e^{u}$ où $u$ dépend de $x$ .

Ma réponse

Fonction exponentielle

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Contenu du cours

Introduction : une fonction égale à sa dérivée

Notation exp et nombre e

Relation fonctionnelle

Inverse et quotient

Puissance entière

Signe : toujours strictement positif

Sens de variation

Dérivée de ex et de ekx

Courbe représentative

Équations et inéquations simples

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Simplifier avec les propriétés de l'exponentielle

Exemple 2 — Résoudre une équation puis une inéquation

Exemple 3 — Dériver une fonction du type ekx

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

Fonction exponentielle — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Propriétés de l'exponentielle et simplification

Calculs avec les propriétés de l'exponentielle

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Équations avec l'exponentielle

Variations et limites de l'exponentielle

Propriétés algébriques et simplifications

Calculs simples avec les propriétés de l'exponentielle

Dérivée de la fonction exponentielle

Résolution d'une équation simple

Signe de la fonction exponentielle

Lecture graphique de limites

Limite de la fonction exponentielle

Investissement en bourse

Évolution d'un investissement

Test

Exercices Intermédiaires

Équations et dérivation de $e^{u}$

Équations, inéquation et dérivée de $e^{u}$

Équation du second degré avec exponentielle

Tangente à la courbe exponentielle

Application : croissance bactérienne

Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle

Étude du sens de variation

Résolution d'équation avec transformation

Résolution d'inéquation

Dérivée d'une composée avec l'exponentielle

Étude de la fonction $f(x) = xe^x$

Inéquations avec l'exponentielle

Étude de $f(x) = e^{-x^2}$ et extremum

Équations et dérivée de $e^{u}$

Calculer des limites avec l'exponentielle

Calculer des limites avec l'exponentielle

Inéquation exponentielle

Suite définie par récurrence et exponentielle — Bac Sénégal 2023

Étude complète d'une fonction avec eˣ et asymptote oblique

Exercices Difficiles

Croissances comparées — limites en $+\infty$

Étude complète de $f(x)=(x-1)e^x$

Résolution d'une équation $e^x - e^{-x} = k$

Dérivée d'un produit et variations

Variations d'une fonction du type $x e^{x}$

Dérivée d'un produit et étude des variations

Étude de f(x) = (2x-1)eˣ

Inéquation avec produit d'exponentielles

Étude de f(x) = x - 2 + x·e^(2-x)

Étude d'une fonction

Asymptotes et position relative

Équation complexe

Comparaison de croissances

Limite d'une fonction exponentielle

Équation de croissance

Dérivée d'une fonction composée

Équation exponentielle complexe

Étude d'une fonction avec paramètre et inégalité exponentielle

Exercices supplémentaires

—

Notation $exp$ et nombre $e$

Dérivée de $e^{x}$ et de $e^{k x}$

Exemple 3 — Dériver une fonction du type $e^{k x}$