On admet les résultats de croissances comparées suivants : x → + ∞ lim x e x = + ∞ x → − ∞ lim x ⋅ e x = 0 En déduire les limites suivantes. 1. x → + ∞ lim x 2 e x 2. x → − ∞ lim x 2 e x 3. x → + ∞ lim e x x 3

Croissances comparées — limites en $+\infty$

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On admet les résultats de croissances comparées suivants :

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$
$x \to - \infty lim x \cdot e^{x} = 0$

En déduire les limites suivantes.

1. $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}}$

2. $x \to - \infty lim x^{2} e^{x}$

3. $x \to + \infty lim \frac{x ^{3}}{e ^{x}}$

Indices

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1 Indice 1

Pour chaque limite, essaie de faire apparaitre l'une des deux expressions de croissances comparees donnees dans l'enonce, en decomposant le quotient ou le produit en un produit de deux facteurs.

2 Indice 2

Pour la question 1, ecris $\dfrac{e^x}{x^2}$ comme le produit de $\dfrac{e^x}{x}$ par $\dfrac{1}{x}$, ou trouve une autre decomposition qui fait apparaitre une limite connue tendant vers $+\infty$.

3 Indice 3

Pour les questions 2 et 3, effectue le changement de variable $t = -x$ pour te ramener au cas $x \to +\infty$ et reutiliser le resultat de croissance comparee deja etabli.

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