Dérivée d'un quotient, variations et tangente horizontale

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\frac{x+2}{x^2+1}.$$

1. En utilisant la formule de dérivation d'un quotient, montrer que pour tout réel $x$ : $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2-4x+1}{(x^2+1{)}^2}.$$

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations de $f$.

3. Justifier que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet exactement deux tangentes horizontales.