Dérivation — Résumé de cours

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Taux d'accroissement

Pour une fonction $f$ et deux réels distincts $a$ et $a + h$ , le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le quotient $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ . Il représente la pente de la droite (sécante) passant par les points d'abscisses $a$ et $a + h$ .

Nombre dérivé

On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ . Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ : $f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ . Exemple : pour $f (x) = x^{2}$ , $f^{'} (3) = 6$ .

Tangente

Le nombre dérivé $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ . C'est la position limite des sécantes lorsque $h$ tend vers $0$ .

Fonction dérivée

Si $f$ est dérivable en tout réel d'un intervalle $I$ , la fonction qui à chaque $x$ associe le nombre dérivé $f^{'} (x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ , notée $f^{'}$ .

Dérivées usuelles

Quelques résultats à connaître : si $f (x) = k$ (constante) alors $f^{'} (x) = 0$ ; si $f (x) = x$ alors $f^{'} (x) = 1$ ; si $f (x) = x^{n}$ alors $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ ; si $f (x) = \frac{1}{x}$ alors $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ ; si $f (x) = x$ alors $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

Opérations : somme

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ . De même $(k u)^{'} = k u^{'}$ pour une constante $k$ . Exemple : si $f (x) = 3 x^{2} + 5 x$ , alors $f^{'} (x) = 6 x + 5$ .

Opérations : produit

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ . Exemple : pour $f (x) = (2 x + 1) (x^{2})$ , on a $u = 2 x + 1$ , $v = x^{2}$ , donc $f^{'} (x) = 2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) \cdot 2 x$ .

Opérations : quotient

Pour un quotient (avec $v \neq = 0$ ) : $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Attention à l'ordre au numérateur et au carré au dénominateur.

Lien dérivée et variations

Le signe de $f^{'}$ donne le sens de variation de $f$ sur un intervalle : si $f^{'} (x) > 0$ , $f$ est strictement croissante ; si $f^{'} (x) < 0$ , $f$ est strictement décroissante ; si $f^{'} (x) = 0$ sur tout l'intervalle, $f$ est constante.

Extremums

Un extremum local (maximum ou minimum) d'une fonction dérivable est atteint en un point où $f^{'}$ s'annule en changeant de signe. Si $f^{'}$ passe de $+$ à $-$ , c'est un maximum ; de $-$ à $+$ , c'est un minimum.

✍️ Exemples résolus & démonstrations

Exemple 1 — Dérivée d'un produit et équation de tangente

Énoncé. Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = (2 x - 1) (x^{2} + 3)$ . Calculer $f^{'} (x)$ , puis déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ .

Solution.

On reconnaît un produit $f = u v$ avec $u (x) = 2 x - 1$ et $v (x) = x^{2} + 3$ . Ces deux fonctions sont dérivables sur $R$ , donc $f$ l'est aussi, et $u^{'} (x) = 2$ , $v^{'} (x) = 2 x$ .
On applique la formule $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ : $f^{'} (x) = 2 (x^{2} + 3) + (2 x - 1) (2 x) .$
On développe et on réduit : $f^{'} (x) = 2 x^{2} + 6 + 4 x^{2} - 2 x = 6 x^{2} - 2 x + 6.$
Équation de la tangente. La tangente au point d'abscisse $a = 1$ a pour équation $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ . On calcule $f (1) = (2 \times 1 - 1) (1^{2} + 3) = 1 \times 4 = 4$ et $f^{'} (1) = 6 \times 1^{2} - 2 \times 1 + 6 = 10$ .
D'où : $T : y = 10 (x - 1) + 4 = 10 x - 6.$
Vérification. On peut vérifier $f^{'}$ en développant d'abord $f (x) = 2 x^{3} + 6 x - x^{2} - 3 = 2 x^{3} - x^{2} + 6 x - 3$ , puis $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x + 6$ : on retrouve bien le même résultat. ✓ De plus, au point de contact, $T$ donne $y = 10 \times 1 - 6 = 4 = f (1)$ . ✓

Exemple 2 — Dérivée d'un quotient et tangente horizontale

Énoncé. Soit $g$ la fonction définie sur $R ∖ {1}$ par $g (x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ . Calculer $g^{'} (x)$ , puis montrer que la courbe de $g$ n'admet aucune tangente horizontale.

Solution.

On reconnaît un quotient $g = \frac{u}{v}$ avec $u (x) = x + 2$ et $v (x) = x - 1$ . Sur $R ∖ {1}$ , $v (x) \neq = 0$ et les deux fonctions sont dérivables, donc $g$ l'est aussi, avec $u^{'} (x) = 1$ et $v^{'} (x) = 1$ .
On applique la formule $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ : $g^{'} (x) = \frac{1 \times ( x - 1 ) - ( x + 2 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}} .$
On simplifie le numérateur : $g^{'} (x) = \frac{x - 1 - x - 2}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{- 3}{( x - 1 ) ^{2}} .$
Tangente horizontale. Une tangente est horizontale lorsque $g^{'} (x) = 0$ . Or pour tout $x \neq = 1$ , le dénominateur $(x - 1)^{2} > 0$ et le numérateur $- 3 \neq = 0$ , donc $g^{'} (x) < 0$ : la dérivée ne s'annule jamais.
Par conséquent, la courbe de $g$ n'admet aucune tangente horizontale (et $g$ est de plus strictement décroissante sur chacun des intervalles $] - \infty; 1 [$ et $] 1; + \infty [$ ).
Vérification. En $x = 0$ : $g^{'} (0) = \frac{- 3}{( 0 - 1 ) ^{2}} = - 3 < 0$ , et en $x = 2$ : $g^{'} (2) = \frac{- 3}{( 2 - 1 ) ^{2}} = - 3 < 0$ . Le signe constant de $g^{'}$ est confirmé. ✓

Exemple 3 — Étude des variations et extremum d'un polynôme

Énoncé. Soit $h$ la fonction définie sur $R$ par $h (x) = x^{3} - 3 x + 1$ . Étudier les variations de $h$ sur $R$ , puis préciser ses extremums locaux.

Solution.

La fonction $h$ est un polynôme, donc dérivable sur $R$ . On dérive terme à terme : $h^{'} (x) = 3 x^{2} - 3.$
On factorise pour étudier le signe : $h^{'} (x) = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1) .$
Signe de $h^{'}$ . Le trinôme $(x - 1) (x + 1)$ s'annule en $- 1$ et $1$ ; étant un trinôme de coefficient dominant positif, il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc $h^{'} (x) > 0$ sur $] - \infty; - 1 [$ et sur $] 1; + \infty [$ , et $h^{'} (x) < 0$ sur $] - 1; 1 [$ .
On en déduit les variations : $h$ est croissante sur $] - \infty; - 1]$ , décroissante sur $[- 1; 1]$ , puis croissante sur $[1; + \infty [$ .
Extremums. En $x = - 1$ , $h^{'}$ change de signe de $+$ à $-$ : $h$ admet un maximum local $h (- 1) = (- 1)^{3} - 3 \times (- 1) + 1 = - 1 + 3 + 1 = 3$ . En $x = 1$ , $h^{'}$ change de signe de $-$ à $+$ : $h$ admet un minimum local $h (1) = 1^{3} - 3 \times 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = - 1$ .
Vérification. $h^{'} (- 1) = 3 ((- 1)^{2} - 1) = 0$ et $h^{'} (1) = 3 (1^{2} - 1) = 0$ : la dérivée s'annule bien aux deux abscisses, en changeant de signe à chaque fois, ce qui confirme le maximum local en $- 1$ et le minimum local en $1$ . ✓

🔑 Formules clés à retenir

Constante : $(k)^{'} = 0$
$(x)^{'} = 1$ et $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
Somme : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
Constante en facteur : $(k u)^{'} = k u^{'}$
Produit : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Quotient : $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
Inverse : $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$
Équation de la tangente en $a$ : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

🎯

Concepts interactifs liés

Manipule ces idées pour les comprendre vraiment

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La dérivée comme pente

La sécante qui devient tangente

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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

La dérivée d'un produit n'est pas $u^{'} v^{'}$ : il faut appliquer $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Au quotient, ne pas oublier le $v^{2}$ au dénominateur et le signe moins : numérateur $u^{'} v - u v^{'}$ , dans cet ordre.
$f^{'} (a) = 0$ ne suffit pas pour un extremum : il faut un changement de signe de $f^{'}$ . Sinon (ex : $x^{3}$ en $0$ ) il n'y a pas d'extremum.
Ne pas confondre $f (a)$ (ordonnée du point) et $f^{'} (a)$ (pente de la tangente).
Vérifier le domaine de dérivabilité : $x$ n'est pas dérivable en $0$ .
Pour dériver $x^{n}$ , on multiplie par l'exposant puis on diminue l'exposant de 1, sans l'inverser.

Dérivation — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

50 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

15 exercices

Calculer une dérivée (fonctions usuelles)

Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 7$
$g (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)$
$h (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$
$k (x) = 3 x + 4$
$m (x) = sin (2 x) + cos (x)$

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Nombre dérivé

Tangente

Fonction dérivée

Dérivées usuelles

Opérations : somme

Opérations : produit

Opérations : quotient

Lien dérivée et variations

Extremums

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Exemple 2 — Dérivée d'un quotient et tangente horizontale

Exemple 3 — Étude des variations et extremum d'un polynôme

🔑 Formules clés à retenir

Concepts interactifs liés

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

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Exercices interactifs

Exercices Faciles

Calculer une dérivée (fonctions usuelles)

Calcul de dérivées de fonctions usuelles

Variations et tableau d'un polynôme du troisième degré

Dérivée de la fonction constante g(x) = 7

Dérivée d'une fonction rationnelle simple

Tangente à la courbe

Dérivabilité sur R de la fonction f(x) = 7

Tangente à une courbe

Dérivée de f(x) = 4x³ - 2x + 1

Dérivabilité et dérivée de f(x) = 7

Preuve générale : dérivée d'une constante nulle

Tangente à une parabole

Dérivées usuelles, nombre dérivé et tangente

Dérivées usuelles

Nombre dérivé et équation de tangente

Exercices Intermédiaires

Dérivabilité en un point

Étude complète d'une fonction rationnelle

Dérivée d'une composée : (2x−1)⁵

Dérivabilité d'une fonction prolongée et tangente

Dérivabilité à gauche et à droite en un point de raccordement

Étude complète d'une fonction avec racine carrée

Dérivabilité en un point, tangente et approximation affine

Dérivabilité à droite et à gauche d'une fonction définie par morceaux

Dérivée d'une fonction logarithmique

Application de la dérivée pour un problème concret

Dérivée de la fonction inverse f(x) = 1/x

Dérivée de f(x) = 4x³ - 2x² + x

Dérivée de f(x) = 2x³ - 4x² + x + 1 et calcul de f'(2)

Dérivée de f(x) = 1/(x+1)

Dérivée et variations de f(x) = x(x² - 3)

Dérivée et variations de f(x) = (2x-1)(x² + 3)

Équation de la tangente

Dérivée d'un quotient

Dérivée d'un quotient et tableau de variations

Exercices Difficiles

Démonstration d'une inégalité par dérivation

Point anguleux et demi-tangentes

Étude avec paramètre : tangente parallèle à une droite

Optimisation : périmètre maximal d'un triangle rectangle

Domaine, limites et variations d'une fonction avec racine et quotient

Dérivée de la somme de fonctions

Problème d'optimisation

Dérivée de f(x) = 1/(2x²+3) et domaine de dérivabilité

Problème de maximisation

Dérivée d'une fonction exponentielle

Optimisation : coût moyen minimal

Dérivée d'un quotient, variations et tangente horizontale

Étude complète d'une cubique

Dérivée composée — fraction et racine

Signe de la dérivée et inéquation

Optimisation : volume maximal d'une boîte

Exercices supplémentaires

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Quiz — Dérivation