Dérivée et variations de f(x) = (2x-1)(x² + 3)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(2x-1)(x^2+3).$$

1. En utilisant la formule de dérivation d'un produit, montrer que pour tout réel $x$ : $$f^{\prime }(x)=6x^2-2x+6.$$

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.