Soit A B C un triangle rectangle en A tel que B C = 8 cm . On pose A C = x et on note P ( x ) le périmètre du triangle A B C . Montrer que pour tout x ∈ ] 0 , 8 [ : P ( x ) = 64 − x 2 + x + 8 . Déterminer le périmètre maximal du triangle A B C .

Optimisation : périmètre maximal d'un triangle rectangle

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $A B C$ un triangle rectangle en $A$ tel que $B C = 8 cm$ . On pose $A C = x$ et on note $P (x)$ le périmètre du triangle $A B C$ .

Montrer que pour tout $x \in] 0, 8 [$ : $P (x) = 64 - x^{2} + x + 8$ .
Déterminer le périmètre maximal du triangle $A B C$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la premiere question, utilise le theoreme de Pythagore dans le triangle rectangle en $A$ pour exprimer $AB$ en fonction de $x$, puis additionne les trois cotes pour obtenir $P(x)$.

2 Indice 2

Pour maximiser $P(x)$, calcule sa derivee $P'(x)$ en derivant soigneusement le terme contenant la racine carree, puis etudie le signe de cette derivee.

3 Indice 3

Resous $P'(x)=0$ pour trouver la valeur de $x$ qui annule la derivee, verifie que le signe de $P'$ change bien de positif a negatif en ce point, puis calcule $P(x)$ pour cette valeur.

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