Transformation complexe, points fixes et triangle équilatéral

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. À tout point $M$ d'affixe $z$ on associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $$z^{\prime }=f(z)=\left(1+i\sqrt{3}\right)z-2-2i\sqrt{3}.$$

1. Démontrer que $f$ admet un unique point fixe $\Omega$ et déterminer son affixe $\omega$.

2. Pour tout $z$, exprimer $z^{\prime }-\omega$ en fonction de $z-\omega$. En déduire la nature précise de $f$ (centre, rapport, angle).

3. On considère le point $A$ d'affixe $z_A=1$. Déterminer l'affixe $z_B$ de son image $B=f(A)$.

4. Démontrer que le triangle $\Omega AB$ n'est pas équilatéral, puis déterminer la nature exacte de ce triangle.