z₁=3+2i, z₂=1−4i. Calculer : 1) z₁+z₂   2) z₁$\times$z₂   3) |z₁| et |z₂|

$z_1=2+3i$, $z_2=1-i$. Calculer $z_1/z_2$ sous forme algébrique.

Écrire sous forme exponentielle : 1) $z_1=2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$   2) $z_2=\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi }{4})+i\sin (-\frac{\pi }{4}))$   3) Calculer $z_1\cdot z_2$ sous forme exponentielle puis algébrique.

Soit z₁ = 3 + 4i et z₂ = 1 - 2i. Calculez z₁ + z₂.

Déterminez le module du nombre complexe $z=6+8i$.

Calculez le produit de z₁ = 2 + 3i et z₂ = 4 - i.

Calculez le module du nombre complexe $z=2-3i$.

1. Mettre sous forme algébrique a + bi :

1. $(2+3i)(1-i)$
2. $(1+i)/(2-i)$
3. $(1+i{)}^2$ - $(1-i{)}^2$
4. $i^3$ + $i^4$ + $i^5$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2$ + $2z$ + $5=0$.

3. Trouver les racines carrées de $z=3+4i$.

On pose $z=3+2i$ et $z^{\prime }=1-i$.

1. Calculer $z+z^{\prime }$, $z-z^{\prime }$, et $z\cdot z^{\prime }$.
2. Calculer $1/z$ (écrire sous forme algébrique $a+bi$).
3. Calculer $z/z^{\prime }$ (écrire sous forme algébrique).
4. Calculer $|z|$, $|z^{\prime }|$, et vérifier que $|z\cdot z^{\prime }|=|z|\cdot |z^{\prime }|$.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le conjugué ${\bar{z}}_1$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times {\bar{z}}_1=|z_1{|}^2$.
3. Calculer $z_1÷z_2$ sous forme algébrique $a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
4. Déterminer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1÷z_2|$. Vérifier que $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.

Exercice 2 — Forme trigonométrique

On considère les nombres complexes $z_A=1+i\sqrt{3}$ et $z_B=\sqrt{3}-i$.

1. Calculer le module et un argument de $z_A$, puis écrire $z_A$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
2. Calculer le module et un argument de $z_B$, puis écrire $z_B$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
3. En déduire la forme trigonométrique et exponentielle de $z_A\times z_B$ et de $z_A÷z_B$, sans effectuer les multiplications directement.
4. Vérifier le résultat de $z_A\times z_B$ en effectuant le produit algébriquement.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=1-2i$.

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Calculer $z_1÷z_2$ sous forme algébrique $a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
4. Déterminer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1÷z_2|$, puis vérifier la relation $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1\times z_2$ et $z_1/z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique $a+bi$.
2. Calculer le module de $z_1$, de $z_2$ et de $z_1\times z_2$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
3. Déterminer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.

Exercice 2 — Forme trigonométrique et argument

On considère les nombres complexes :

• $z_A=-1+i\sqrt{3}$
• $z_B=\sqrt{3}+i$

Partie 1 — Forme trigonométrique

1. Calculer le module et un argument de $z_A$. En déduire la forme trigonométrique de $z_A$.
2. Calculer le module et un argument de $z_B$. En déduire la forme trigonométrique de $z_B$.

Partie 2 — Produit et quotient

3. En utilisant les formes trigonométriques, calculer le module et un argument de $z_A\times z_B$.
4. Vérifier le résultat de la question 3 en calculant directement $z_A\times z_B$ en forme algébrique, puis en déduisant son module et son argument.
5. Calculer le module et un argument de $z_A÷z_B$.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

Partie 1 — Opérations en forme algébrique

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Écrire le quotient $z_1÷z_2$ sous forme algébrique $a+bi$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.

Partie 2 — Module

4. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1\times z_2|$.
5. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

Partie 1 — Opérations en forme algébrique

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique $a+bi$.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Écrire le quotient $z_1÷z_2$ sous forme algébrique en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\overline{z_2}$.

Partie 2 — Modules et argument

1. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1\times z_2|$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
2. Déterminer un argument de $z_2=1-i$. En déduire la forme trigonométrique de $z_2$.

Calcul d'arguments

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes non nuls tels que :

$\arg (z_1)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]\text{et}\arg (z_2)\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$

1. Déterminer un argument de $z=z_1{z}_2$, de $z^{\prime }=\frac{z_1}{z_2}$ et de $z^{\prime \prime }=(z_2{)}^4$.

2. Déterminer un argument de $z_3$ dans chacun des cas : a) $\frac{z_3}{z_2}=z_1^2$ ; b) $z_3\times \overline{z_2}=4z_1$.

Calculez le module de $z=-2+3i$.

Calculez le produit $z_1\times z_2$ où $z_1=2+3i$ et $z_2=4-i$.

Soit z = 5 - 6i. Calculez le conjugué de z.

On considère les nombres complexes $$z_1=-1+i\text{et}{z}_2=\sqrt{3}+i.$$

1. Déterminer le module et un argument de $z_1$, puis l'écrire sous forme exponentielle.

2. Faire de même pour $z_2$.

3. En déduire la forme exponentielle du quotient $Z=\frac{z_1}{z_2}$.

4. Calculer $z_1^4$ et donner sa forme algébrique.

On considère les nombres complexes $$a=1+i\sqrt{3}\text{et}b=1+i.$$

1. Déterminer le module et un argument de $a$, puis l'écrire sous forme exponentielle.

2. Faire de même pour $b$.

3. En déduire la forme exponentielle du produit $P=ab$.

4. En calculant aussi $P$ sous forme algébrique, en déduire les valeurs exactes de $\cos \frac{5\pi }{12}$ et $\sin \frac{5\pi }{12}$.

On considère le nombre complexe $$z=1+i\sqrt{3}.$$

1. Calculer le module $|z|$.

2. Déterminer un argument de $z$, puis écrire $z$ sous forme exponentielle.

3. En déduire la forme exponentielle du conjugué $\overline{z}$.

4. Calculer $z^2$ et donner sa forme algébrique.