Module, argument et lieu géométrique de points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. À tout point $M$ d'affixe $z\ne 2$, on associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $$Z=\frac{z-2i}{z-2}.$$

On note $A$ le point d'affixe $2$ et $B$ le point d'affixe $2i$.

1. Interpréter géométriquement $|Z|$ et $\arg (Z)$ à l'aide des points $A$, $B$ et $M$.

2. Déterminer l'ensemble $(E_1)$ des points $M$ tels que $|Z|=1$.

3. Déterminer l'ensemble $(E_2)$ des points $M$ tels que $Z$ soit un réel.

4. Déterminer l'ensemble $(E_3)$ des points $M$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur.