Équation du second degré et somme de racines n-ièmes de l'unité

On note $j=e^{i\frac{2\pi }{3}}$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+z+1=0$ et montrer que ses solutions sont $j$ et $\overline{j}$.

2. Démontrer que $1+j+j^2=0$.

3. On considère les racines cubiques de l'unité, c'est-à-dire les solutions de $z^3=1$. Déterminer ces trois racines sous forme exponentielle.

4. Calculer la somme $S=1+j+j^2$ et le produit $P=1\times j\times j^2$, et interpréter ces résultats.