On pose a = 2 + 3 + i . Montrer que a = ( 2 3 + 2 1 i ) a , puis calculer ∣ a ∣ . Écrire a sous forme trigonométrique. En déduire les valeurs exactes de cos 12 π et sin 12 π . Montrer que a 6 = i ( 2 2 + 3 ) 6 .

Valeurs exactes de cos et sin de π/12 et puissance imaginaire pure

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On pose $a = 2 + 3 + i$ .

Montrer que $a = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) \overline{a}$ , puis calculer $∣ a ∣$ .
Écrire $a$ sous forme trigonométrique.
En déduire les valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ .
Montrer que $a^{6} = i (2 2 + 3)^{6}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule $\\overline{a}$ puis développe le produit $\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{1}{2}i\\right)\\overline{a}$ pour vérifier qu'il redonne bien $a$ ; pour le module, utilise $|a| = \\sqrt{\\text{Re}(a)^2 + \\text{Im}(a)^2}$.

2 Indice 2

Pour la question 2, prends l'argument de l'égalité de la question 1 en te souvenant que $\\arg(\\overline{a}) = -\\arg(a)$ et que $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{1}{2}i$ a un argument connu ($\\pi/6$).

3 Indice 3

Pour la question 3, identifie parties réelle et imaginaire entre la forme algébrique et la forme trigonométrique de $a$. Pour la question 4, utilise la formule de Moivre en élevant le module à la puissance 6 et en multipliant l'argument par 6.

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